77В. а) Решите уравнение \(\sin 2x + 2\cos \left( {x — \frac{\pi }{2}} \right) = \sqrt 3 \cos x + \sqrt 3 \);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — 3\pi ; — \frac{{3\pi }}{2}} \right].\)
а) \(\sin 2x + 2\cos \left( {x — \frac{\pi }{2}} \right) = \sqrt 3 \cos x + \sqrt 3 .\) Так как \(\sin 2x = 2\sin x\cos x,\) то уравнение примет вид: \(2\sin x\cos x + 2\cos \left( {x — \frac{\pi }{2}} \right) = \sqrt 3 \cos x + \sqrt 3 .\) Используя формулу приведения, получим: \(\cos \left( {x — \frac{\pi }{2}} \right) = \sin x.\;\) Тогда уравнение примет вид: \(2\sin x\cos x + 2\sin x = \sqrt 3 \cos x + \sqrt 3 \;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2\sin x\cos x + 2\sin x — \sqrt 3 \cos x — \sqrt 3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;2\sin x\left( {\cos x + 1} \right) — \sqrt 3 \left( {\cos x + 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {\cos x + 1} \right)\left( {2\sin x — \sqrt 3 } \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x + 1 = 0,\;\;\;\;}\\{2\sin x — \sqrt 3 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = — 1,\;\;\;\;}\\{\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi + 2\pi k,\;\;}\\{x = \frac{\pi }{3} + 2\pi k,\;\;}\\{x = \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\;\) \(x = \pi — 4\pi = — 3\pi ;\;\,\,\;\;x = \frac{\pi }{3} — 2\pi = — \frac{{5\pi }}{3}.\) Ответ: а) \(\pi + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,\frac{\pi }{3} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,\frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\) б) \( — 3\pi ;\;\;\; — \frac{{5\pi }}{3}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — 3\pi ; — \frac{{3\pi }}{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: