78В. а) Решите уравнение \(\sin 2x = \sin x — 2\sin \left( {x — \frac{{3\pi }}{2}} \right) + 1\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\frac{{3\pi }}{2};3\pi } \right].\)
a) \(\sin 2x = \sin x — 2\sin \left( {x — \frac{{3\pi }}{2}} \right) + 1.\) Так как \(\sin 2x = 2\sin x\cos x,\) то уравнение примет вид: \(2\sin x\cos x = \sin x — 2\sin \left( {x — \frac{{3\pi }}{2}} \right) + 1.\) Используя формулу приведения, получим: \(\sin \left( {x — \frac{{3\pi }}{2}} \right) = \cos x.\;\) Тогда уравнение примет вид: \(2\sin x\cos x — \sin x + 2\cos x — 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin x\left( {2\cos x — 1} \right) + \left( {2\cos x — 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {2\cos x — 1} \right)\left( {\sin x + 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2\cos x — 1 = 0,}\\{\sin x + 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = \frac{1}{2},}\\{\sin x = — 1\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pm \frac{\pi }{3} + 2\pi k,}\\{x = — \frac{\pi }{2} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z.\) \(x = — \frac{\pi }{2} + 2\pi = \frac{{3\pi }}{2};\,\,\,\,\,\,x = — \frac{\pi }{3} + 2\pi = \frac{{5\pi }}{3};\,\,\,\,\,x = \frac{\pi }{3} + 2\pi = \frac{{7\pi }}{3}.\) Ответ: а) \( \pm \frac{\pi }{3} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,\,\,\, — \frac{\pi }{2} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\) б) \(\frac{{3\pi }}{2};\,\,\,\,\,\frac{{5\pi }}{3};\,\,\,\,\frac{{7\pi }}{3}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\frac{{3\pi }}{2};3\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: