79В. а) Решите уравнение \(2\sin \left( {\pi + x} \right) \cdot \cos \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) = \sin x\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — 5\pi ; — 4\pi } \right].\)
а) \(2\sin \left( {\pi + x} \right) \cdot \cos \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) = \sin x.\) Используя формулы приведения, получим: \(\sin \left( {\pi + x} \right) = — \sin x,\;\;\;\;\cos \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) = — \sin x.\;\) Тогда уравнение примет вид: \(2\left( { — \sin x} \right) \cdot \left( { — \sin x} \right) = \sin x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2{\sin ^2}x — \sin x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin x\left( {2\sin x — 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,\;\;\;\;\;\,}\\{2\sin x — 1 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,}\\{\sin x = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x = \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\;}\\{x = \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = — 5\pi ;\,\,\,\,x = — 4\pi .\) Ответ: а) \(\pi k,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{\pi }{6} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\;\;\;\;k\, \in \,Z;\) б) \( — 5\pi ;\,\,\,\, — 4\pi .\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — 5\pi ; — 4\pi } \right].\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: