а) \(8{\sin ^2}2x + \cos 2x + 1 = 0.\)
Так как \({\sin ^2}2x + {\cos ^2}2x = 1,\) то \({\sin ^2}2x = 1 — {\cos ^2}2x.\) Тогда уравнение примет вид:
\(8(1 — {\cos ^2}2x) + \cos 2x + 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;8{\cos ^2}2x — \cos 2x — 9 = 0.\)
Пусть \(\cos 2x = t,\,\,\,\,\,t\, \in \,\left[ { — 1;1} \right].\) Тогда:
\(8{t^2} — t — 9 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = — 1,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{{t} = \dfrac{9}{8} \notin \left[ { — 1;1} \right].}\end{array}} \right.\)
Вернёмся к прежней переменной:
\(\cos 2x = — 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2x = \pi + 2\pi k\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \dfrac{\pi }{2} + \pi k,\;\;\;\;k \in Z.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \pi ;\dfrac{\pi }{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: \( \pm \dfrac{\pi }{2}.\)
Ответ: а) \(\dfrac{\pi }{2} + \pi k,\;\;\;\;k \in Z;\)
б) \( \pm \dfrac{\pi }{2}.\)