8В. а) Решите уравнение \(8{\sin ^2}2x + \cos 2x + 1 = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \pi ;\frac{\pi }{2}} \right].\)
а) \(8{\sin ^2}2x + \cos 2x + 1 = 0.\) Так как \({\sin ^2}2x + {\cos ^2}2x = 1,\) то \({\sin ^2}2x = 1 — {\cos ^2}2x.\) Тогда уравнение примет вид: \(8(1 — {\cos ^2}2x) + \cos 2x + 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;8{\cos ^2}2x — \cos 2x — 9 = 0.\) Пусть \(\cos 2x = t,\,\,\,\,\,t\, \in \,\left[ { — 1;1} \right].\) Тогда: \(8{t^2} — t — 9 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = — 1,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{{t} = \frac{9}{8} \notin \left[ { — 1;1} \right].}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\cos 2x = — 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2x = \pi + 2\pi k\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \frac{\pi }{2} + \pi k,\;\;\;\;k \in Z.\) Ответ: а) \(\frac{\pi }{2} + \pi k,\;\;\;\;k \in Z;\) б) \( \pm \frac{\pi }{2}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \pi ;\frac{\pi }{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: \( \pm \frac{\pi }{2}.\)