80В. а) Решите уравнение \(8{\sin ^2}x + 2\sqrt 3 \cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} — x} \right) = 9\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \frac{{5\pi }}{2}; — \pi } \right]\)
а) \(8{\sin ^2}x + 2\sqrt 3 \cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} — x} \right) = 9.\) Используя формулу приведения, получим: \(\cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} — x} \right) = — \sin x.\;\) Тогда уравнение примет вид: \(8{\sin ^2}x + 2\sqrt 3 \cdot \left( { — \sin x} \right) = 9\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;8{\sin ^2}x — 2\sqrt 3 \sin x — 9 = 0.\) Пусть \(\sin x = t,\,\,\,\,\,\,\,t\, \in \,\left[ { — 1;1} \right].\) Тогда уравнение примет вид: \(8{t^2} — 2\sqrt 3 t — 9 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;D = 12 + 288 = 300\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sqrt D = 10\sqrt 3 \;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = \frac{{2\sqrt 3 + 10\sqrt 3 }}{{16}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{4} \notin \left[ { — 1;1} \right],\,\,\,}\\{{t} = \frac{{2\sqrt 3 — 10\sqrt 3 }}{{16}} = — \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\sin x = — \frac{{\sqrt 3 }}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = — \frac{\pi }{3} + 2\pi k,}\\{x = — \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = — \frac{\pi }{3} — 2\pi = — \frac{{7\pi }}{3}.\) Ответ: а) \( — \frac{\pi }{3} + 2\pi k,\;\;\;\; — \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z;\) б) \( — \frac{{7\pi }}{3}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \frac{{5\pi }}{2}; — \pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значение: