81В. а) Решите уравнение \( — \sqrt 2 \sin \left( { — \frac{{5\pi }}{2} + x} \right) \cdot \sin x = \cos x\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\frac{{9\pi }}{2};6\pi } \right].\)
а) \( — \sqrt 2 \sin \left( { — \frac{{5\pi }}{2} + x} \right) \cdot \sin x = \cos x.\) Используя формулу приведения, получим: \(\sin \left( { — \frac{{5\pi }}{2} + x} \right) = — \cos x.\;\) Тогда уравнение примет вид: \(\sqrt 2 \cos x \cdot \sin x = \cos x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos x\left( {\sqrt 2 \sin x — 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = 0,\;\;\;\;}\\{\sqrt 2 \sin x = 1}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.\) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = 0,\;\;}\\{\sin x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{2} + \pi k,\;\;\;\;}\\{x = \frac{\pi }{4} + 2\pi k,\;\;}\\{x = \frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = \frac{\pi }{2} + 4\pi = \frac{{9\pi }}{2};\;\;\;x = \frac{{3\pi }}{4} + 4\pi = \frac{{19\pi }}{4};\;\;\;x = \frac{\pi }{2} + 5\pi = \frac{{11\pi }}{2}.\) Ответ: а) \(\frac{\pi }{2} + \pi k,\;\;\;\;\frac{\pi }{4} + 2\pi k,\;\;\;\;\frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z;\) б) \(\frac{{9\pi }}{2};\;\;\;\frac{{19\pi }}{4};\;\;\;\frac{{11\pi }}{2}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\frac{{9\pi }}{2};6\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: