82В. а) Решите уравнение \(\cos \left( {\frac{\pi }{2} + 2x} \right) = \sqrt 2 \sin x\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — 5\pi ; — 4\pi } \right].\)
ОТВЕТ: а) \(\pi k;\quad \pm \frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k;\quad k \in Z;\) б) \( — 5\pi ;\;\;\; — \frac{{19\pi }}{4};\;\;\; — 4\pi .\)
a) \(\cos \left( {\frac{\pi }{2} + 2x} \right) = \sqrt 2 \sin x.\) Используя формулу приведения, получим: \(\cos \left( {\frac{\pi }{2} + 2x} \right) = — \sin 2x.\;\) Тогда уравнение примет вид: \( — \sin 2x — \sqrt 2 \sin x = 0.\) Так как \(\sin 2x = 2\sin x\cos x,\) то уравнение примет вид: \(2\sin x\cos x + \sqrt 2 \sin x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin x\left( {2\cos x + \sqrt 2 } \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{2\cos x + \sqrt 2 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,\;\;\;\;\;\;}\\{\cos x = — \frac{{\sqrt 2 }}{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x = \pm \frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — 5\pi ; — 4\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: \(x = — 5\pi ;\;\;\;x = — \frac{{3\pi }}{4} — 4\pi = — \frac{{19\pi }}{4};\;\;\;x = — 4\pi .\) Ответ: а) \(\pi k,\,\,\,\,\, \pm \frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\) б) \( — 5\pi ;\,\,\, — \frac{{19\pi }}{4};\,\,\,\, — 4\pi \).