82В. а) Решите уравнение  \(\cos \left( {\frac{\pi }{2} + 2x} \right) = \sqrt 2 \sin x\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку  \(\left[ { — 5\pi ; — 4\pi } \right].\)

Ответ

ОТВЕТ:  а) \(\pi k;\quad  \pm \frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k;\quad k \in Z;\)

б) \( — 5\pi ;\;\;\; — \frac{{19\pi }}{4};\;\;\; — 4\pi .\)

Решение

a) \(\cos \left( {\frac{\pi }{2} + 2x} \right) = \sqrt 2 \sin x.\)

Используя формулу приведения, получим: \(\cos \left( {\frac{\pi }{2} + 2x} \right) =  — \sin 2x.\;\)

Тогда уравнение примет вид:

\( — \sin 2x — \sqrt 2 \sin x = 0.\)

Так как \(\sin 2x = 2\sin x\cos x,\) то уравнение примет вид:

\(2\sin x\cos x + \sqrt 2 \sin x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin x\left( {2\cos x + \sqrt 2 } \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{2\cos x + \sqrt 2  = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,\;\;\;\;\;\;}\\{\cos x =  — \frac{{\sqrt 2 }}{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x =  \pm \frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — 5\pi ; — 4\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:

\(x =  — 5\pi ;\;\;\;x =  — \frac{{3\pi }}{4} — 4\pi  =  — \frac{{19\pi }}{4};\;\;\;x =  — 4\pi .\)

Ответ:  а)  \(\pi k,\,\,\,\,\, \pm \frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\)

             б)  \( — 5\pi ;\,\,\, — \frac{{19\pi }}{4};\,\,\,\, — 4\pi \).