83В. а) Решите уравнение \(2\cos \left( {x — \frac{{11\pi }}{2}} \right) \cdot \cos x = \sin x\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {3\pi ;\frac{{9\pi }}{2}} \right].\)
ОТВЕТ: а) \(\pi k;\quad \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k;\quad k \in Z;\) б) \(3\pi ;\;\;4\pi ;\;\;\frac{{10\pi }}{3}.\)
а) \(2\cos \left( {x — \frac{{11\pi }}{2}} \right) \cdot \cos x = \sin x.\) Используя формулу приведения, получим: \(\cos \left( {x — \frac{{11\pi }}{2}} \right) = — \sin x.\;\) Тогда уравнение примет вид: \( — 2\sin x \cdot \cos x = \sin x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\; — \sin x\left( {2\cos x + 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,\;\;\;\;\;\;\,}\\{2\cos x + 1 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,\;\;\;\,}\\{\cos x = — \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {3\pi ;\frac{{9\pi }}{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: \(x = 3\pi ;\;\;\;x = 4\pi ;\;\;\;x = — \frac{{2\pi }}{3} + 4\pi = \frac{{10\pi }}{3}.\) Ответ: а) \(\pi k,\,\,\,\,\, \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\) б) \(3\pi ;\,\,\,4\pi ;\,\,\,\,\frac{{10\pi }}{3}.\)