83В. а) Решите уравнение  \(2\cos \left( {x — \frac{{11\pi }}{2}} \right) \cdot \cos x = \sin x\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку  \(\left[ {3\pi ;\frac{{9\pi }}{2}} \right].\)

Ответ

ОТВЕТ:  а) \(\pi k;\quad  \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k;\quad k \in Z;\)

б) \(3\pi ;\;\;4\pi ;\;\;\frac{{10\pi }}{3}.\)

Решение

а) \(2\cos \left( {x — \frac{{11\pi }}{2}} \right) \cdot \cos x = \sin x.\)

Используя формулу приведения, получим: \(\cos \left( {x — \frac{{11\pi }}{2}} \right) =  — \sin x.\;\)

Тогда уравнение примет вид:

\( — 2\sin x \cdot \cos x = \sin x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\; — \sin x\left( {2\cos x + 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,\;\;\;\;\;\;\,}\\{2\cos x + 1 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,\;\;\;\,}\\{\cos x =  — \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x =  \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {3\pi ;\frac{{9\pi }}{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:

\(x = 3\pi ;\;\;\;x = 4\pi ;\;\;\;x =  — \frac{{2\pi }}{3} + 4\pi  = \frac{{10\pi }}{3}.\)

Ответ:  а)  \(\pi k,\,\,\,\,\, \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\)

             б)  \(3\pi ;\,\,\,4\pi ;\,\,\,\,\frac{{10\pi }}{3}.\)