84В. а) Решите уравнение \(\cos 2x — \sqrt 2 \cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} + x} \right) — 1 = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\frac{{3\pi }}{2};3\pi } \right].\)
а) \(\cos 2x — \sqrt 2 \cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} + x} \right) — 1 = 0.\) Используя формулу приведения, получим: \(\cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} + x} \right) = \sin x.\;\) Тогда уравнение примет вид: \(\cos 2x — \sqrt 2 \sin x — 1 = 0.\) Так как \(\cos 2x = 1 — 2{\sin ^2}x,\)то уравнение примет вид: \(1 — 2{\sin ^2}x — \sqrt 2 \sin x — 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\; — \sin x\left( {2\sin x + \sqrt 2 } \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{2\sin x + \sqrt 2 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,\;\;\;\,\;\,}\\{\sin x = — \frac{{\sqrt 2 }}{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x = — \frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,}\\{x = — \frac{\pi }{4} + 2\pi k,\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = 2\pi ;\;\;\;x = 3\pi ;\;\;\;x = — \frac{\pi }{4} + 2\pi = \frac{{7\pi }}{4}.\) Ответ: а) \(\pi k,\,\,\,\,\, — \frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,\;\;\; — \frac{\pi }{4} + 2\pi k,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\) б) \(2\pi ;\,\,\,3\pi ;\,\,\,\,\frac{{7\pi }}{4}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\frac{{3\pi }}{2};3\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: