а) \(2\cos 2x + 4\cos \left( {\dfrac{{3\pi }}{2} — x} \right) + 1 = 0.\)
Используя формулу приведения, получим: \(\cos \left( {\dfrac{{3\pi }}{2} — x} \right) = — \sin x.\;\)
Тогда уравнение примет вид:
\(2\cos 2x — 4\sin x + 1 = 0.\)
Так как \(\cos 2x = 1 — 2{\sin ^2}x,\) то уравнение примет вид:
\(2 — 4{\sin ^2}x — 4\sin x + 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;4{\sin ^2}x + 4\sin x — 3 = 0.\)
Пусть \(\sin x = t,\,\,\,\,\,t\, \in \,\left[ { — 1;1} \right].\) Тогда уравнение примет вид:
\(4{t^2} + 4t — 3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = \dfrac{1}{2},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{t} = — \dfrac{3}{2} \notin \left[ { — 1;1} \right].}\end{array}} \right.\)
Вернёмся к прежней переменной:
\(\sin x = \dfrac{1}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\,}\\{x = \dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\dfrac{{3\pi }}{2};3\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:
\(x = \dfrac{\pi }{6} + 2\pi = \dfrac{{13\pi }}{6};\;\;\;x = \dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi = \dfrac{{17\pi }}{6}.\)
Ответ: а) \(\dfrac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\;\;\dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\)
б) \(\dfrac{{13\pi }}{6};\,\,\,\,\dfrac{{17\pi }}{6}.\)