85В. а) Решите уравнение \(2\cos 2x + 4\cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} — x} \right) + 1 = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\frac{{3\pi }}{2};3\pi } \right].\)
а) \(2\cos 2x + 4\cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} — x} \right) + 1 = 0.\) Используя формулу приведения, получим: \(\cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} — x} \right) = — \sin x.\;\) Тогда уравнение примет вид: \(2\cos 2x — 4\sin x + 1 = 0.\) Так как \(\cos 2x = 1 — 2{\sin ^2}x,\) то уравнение примет вид: \(2 — 4{\sin ^2}x — 4\sin x + 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;4{\sin ^2}x + 4\sin x — 3 = 0.\) Пусть \(\sin x = t,\,\,\,\,\,t\, \in \,\left[ { — 1;1} \right].\) Тогда уравнение примет вид: \(4{t^2} + 4t — 3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = \frac{1}{2},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{t} = — \frac{3}{2} \notin \left[ { — 1;1} \right].}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\sin x = \frac{1}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\,}\\{x = \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = \frac{\pi }{6} + 2\pi = \frac{{13\pi }}{6};\;\;\;x = \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi = \frac{{17\pi }}{6}.\) Ответ: а) \(\frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\;\;\frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\) б) \(\frac{{13\pi }}{6};\,\,\,\,\frac{{17\pi }}{6}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\frac{{3\pi }}{2};3\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: