86В. а) Решите уравнение \(\cos 2x = \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — 2\pi ; — \pi } \right].\)
а) \(\cos 2x = \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right).\) Используя формулу приведения, получим: \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) = \cos x.\;\) Тогда уравнение примет вид: \(\cos 2x = \cos x.\) Так как \(\cos 2x = 2{\cos ^2}x — 1,\) то уравнение примет вид: \(2{\cos ^2}x — \cos x — 1 = 0.\) Пусть \(\cos x = t,\,\,\,\,\,t\, \in \,\left[ { — 1;1} \right].\) Тогда уравнение примет вид: \(2{t^2} — t — 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 1,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{t} = — \frac{1}{2}.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = 1,\;\;\;}\\{\cos x = — \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2\pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = — 2\pi ;\;\;\;x = \frac{{2\pi }}{3} — 2\pi = — \frac{{4\pi }}{3}.\) Ответ: а) \(2\pi k,\;\;\; \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\) б) \( — 2\pi ;\,\,\,\, — \frac{{4\pi }}{3}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — 2\pi ; — \pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: