88В. а) Решите уравнение \(2\sin \left( {\frac{{7\pi }}{2} — x} \right)\sin x = \cos x\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\frac{{7\pi }}{2};5\pi } \right].\)
а) \(2\sin \left( {\frac{{7\pi }}{2} — x} \right)\sin x = \cos x.\) Используя формулу приведения, получим: \(\sin \left( {\frac{{7\pi }}{2} — x} \right) = — \cos x.\;\) Тогда уравнение примет вид: \( — 2\cos x\sin x = \cos x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2\cos x\sin x + \cos x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos x\left( {2\sin x + 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = 0,\;\;\;\;\;}\\{2\sin x + 1 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = 0,\;\;}\\{\sin x = — \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{2} + \pi k,\;\;\;\;\;\;}\\{x = — \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\,}\\{x = — \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = \frac{\pi }{2} + 3\pi = \frac{{7\pi }}{2};\;\;\;x = — \frac{\pi }{6} + 4\pi = \frac{{23\pi }}{6};\;\;\;x = \frac{\pi }{2} + 4\pi = \frac{{9\pi }}{2}.\) Ответ: а) \(\frac{\pi }{2} + \pi k,\;\;\; — \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\,\,\,\, — \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\;\;\;k\, \in \,Z;\) б) \(\frac{{7\pi }}{2};\,\,\,\,\frac{{23\pi }}{6};\,\,\,\,\frac{{9\pi }}{2}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\frac{{7\pi }}{2};5\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: