а) \(\cos 2x — {\sin ^2}\left( {\dfrac{\pi }{2} — x} \right) = — 0,25.\)
Используя формулу приведения, получим: \({\sin ^2}\left( {\dfrac{\pi }{2} — x} \right) = {\cos ^2}x.\;\)
Тогда уравнение примет вид:
\(\cos 2x — {\cos ^2}x + 0,25 = 0.\)
Так как \(\cos 2x = 2{\cos ^2}x — 1,\) то уравнение примет вид:
\(2{\cos ^2}x — 1 — {\cos ^2}x + 0,25 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\cos ^2}x = 0,75\)
Воспользуемся формулой понижения степени: \({\cos ^2}\alpha = \dfrac{{1 + \cos 2\alpha }}{2}.\)
\({\cos ^2}x = \dfrac{3}{4}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{1 + \cos 2x}}{2} = \dfrac{3}{4}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos 2x = \dfrac{1}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,2x = \pm \dfrac{\pi }{3} + 2\pi k\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x = \pm \dfrac{\pi }{6} + \pi k,\,\,\,\,k \in Z.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\pi ;\dfrac{{5\pi }}{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:
\(x = \dfrac{\pi }{6} + \pi = \dfrac{{7\pi }}{6};\;\;\;x = — \dfrac{\pi }{6} + 2\pi = \dfrac{{11\pi }}{6};\;\;\;x = \dfrac{\pi }{6} + 2\pi = \dfrac{{13\pi }}{6}.\)
Ответ: а) \( \pm \dfrac{\pi }{6} + \pi k,\;\;\;k\, \in \,Z;\)
б) \(\dfrac{{7\pi }}{6};\,\,\,\,\dfrac{{11\pi }}{6};\,\,\,\,\dfrac{{13\pi }}{6}.\)