89В. а) Решите уравнение \(\cos 2x — {\sin ^2}\left( {\frac{\pi }{2} — x} \right) = — 0,25\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\pi ;\frac{{5\pi }}{2}} \right].\)
а) \(\cos 2x — {\sin ^2}\left( {\frac{\pi }{2} — x} \right) = — 0,25.\) Используя формулу приведения, получим: \({\sin ^2}\left( {\frac{\pi }{2} — x} \right) = {\cos ^2}x.\;\) Тогда уравнение примет вид: \(\cos 2x — {\cos ^2}x + 0,25 = 0.\) Так как \(\cos 2x = 2{\cos ^2}x — 1,\) то уравнение примет вид: \(2{\cos ^2}x — 1 — {\cos ^2}x + 0,25 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\cos ^2}x = 0,75\) Воспользуемся формулой понижения степени: \({\cos ^2}\alpha = \frac{{1 + \cos 2\alpha }}{2}.\) \({\cos ^2}x = \frac{3}{4}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{1 + \cos 2x}}{2} = \frac{3}{4}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos 2x = \frac{1}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,2x = \pm \frac{\pi }{3} + 2\pi k\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x = \pm \frac{\pi }{6} + \pi k,\,\,\,\,k \in Z.\) \(x = \frac{\pi }{6} + \pi = \frac{{7\pi }}{6};\;\;\;x = — \frac{\pi }{6} + 2\pi = \frac{{11\pi }}{6};\;\;\;x = \frac{\pi }{6} + 2\pi = \frac{{13\pi }}{6}.\) Ответ: а) \( \pm \frac{\pi }{6} + \pi k,\;\;\;k\, \in \,Z;\) б) \(\frac{{7\pi }}{6};\,\,\,\,\frac{{11\pi }}{6};\,\,\,\,\frac{{13\pi }}{6}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\pi ;\frac{{5\pi }}{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: