9В. а) Решите уравнение \(4\sin 3x + {\cos ^2}3x = 4\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right].\)
а) \(4\sin 3x + {\cos ^2}3x = 4.\) Так как \({\sin ^2}3x + {\cos ^2}3x = 1,\) то \({\cos ^2}3x = 1 — {\sin ^2}3x.\) Тогда уравнение примет вид: \(4\sin 3x + 1 — {\sin ^2}3x = 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\sin ^2}3x — 4\sin 3x + 3 = 0.\) Пусть \(\sin 3x = t,\,\,\,\,\,t\, \in \,\left[ { — 1;1} \right].\) Тогда: \({t^2} — 4t + 3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 1,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{{t} = 3 \notin \left[ { — 1;1} \right].}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\sin 3x = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;3x = \frac{\pi }{2} + 2\pi k\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \frac{\pi }{6} + \frac{{2\pi k}}{3},\;\;\;\;k \in Z.\) Ответ: а) \(\frac{\pi }{6} + \frac{{2\pi k}}{3},\;\;\;\;k \in Z;\) б) \(\frac{\pi }{6}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значение: \(\frac{\pi }{6}.\)