90В. а) Решите уравнение \(\cos 2x + \sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) + 1 = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — 3\pi ; — \frac{{3\pi }}{2}} \right].\)
а) \(\cos 2x + \sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) + 1 = 0.\) Используя формулу приведения, получим: \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) = \cos x.\;\) Тогда уравнение примет вид: \(\cos 2x + \sqrt 2 \cos x + 1 = 0.\) Так как \(\cos 2x = 2{\cos ^2}x — 1,\) то уравнение примет вид: \(2{\cos ^2}x + \sqrt 2 \cos x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos x\left( {2\cos x + \sqrt 2 } \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt 2 \cos x = 0,\;\;\;\,}\\{2\cos x + \sqrt 2 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = 0,\;\;\;\;\;}\\{\cos x = — \frac{{\sqrt 2 }}{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{2} + \pi k,\;\;\;\;}\\{x = \pm \frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = — \frac{{3\pi }}{4} — 2\pi = — \frac{{11\pi }}{4};\;\;\;x = \frac{\pi }{2} — 3\pi = — \frac{{5\pi }}{2};\;\;\;x = \frac{\pi }{2} — 2\pi = — \frac{{3\pi }}{2}.\) Ответ: а) \(\frac{\pi }{2} + \pi k,\;\;\; \pm \frac{{3\pi }}{4} + \pi k,\;\;\;k\, \in \,Z;\) б) \( — \frac{{11\pi }}{4};\,\,\,\, — \frac{{5\pi }}{2};\,\,\,\, — \frac{{3\pi }}{2}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — 3\pi ; — \frac{{3\pi }}{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: