91В. а) Решите уравнение \({\cos ^2}\frac{x}{2} — {\sin ^2}\frac{x}{2} = \sin \left( {\frac{\pi }{2} — 2x} \right)\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\pi ;\frac{{5\pi }}{2}} \right].\)
a) \({\cos ^2}\frac{x}{2} — {\sin ^2}\frac{x}{2} = \sin \left( {\frac{\pi }{2} — 2x} \right).\) Используя формулу приведения, получим: \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} — 2x} \right) = \cos 2x.\;\) Тогда уравнение примет вид: \({\cos ^2}\frac{x}{2} — {\sin ^2}\frac{x}{2} = \cos 2x.\) Так как \({\cos ^2}\frac{x}{2} — {\sin ^2}\frac{x}{2} = \cos x,\) а \(\cos 2x = 2{\cos ^2}x — 1,\) то уравнение примет вид: \(\cos x = 2{\cos ^2}x — 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2{\cos ^2}x — \cos x — 1 = 0.\) Пусть \(\cos x = t,\,\,\,\,\,t\, \in \,\left[ { — 1;1} \right].\) Тогда уравнение примет вид: \(2{t^2} — t — 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 1,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{t} = — \frac{1}{2}.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = 1,\;\;\;}\\{\cos x = — \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2\pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \frac{{2\pi k}}{3},\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = \frac{{4\pi }}{3};\;\;\;x = 2\pi .\) Ответ: а) \(\frac{{2\pi k}}{3},\,\,\,\,k\, \in \,z;\) б) \(\frac{{4\pi }}{3};\,\,\,\,2\pi .\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\pi ;\frac{{5\pi }}{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: