92В. а) Решите уравнение \(4{\sin ^3}x = 3\cos \left( {x — \frac{\pi }{2}} \right)\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\frac{{7\pi }}{2};\frac{{9\pi }}{2}} \right].\)
а) \(4{\sin ^3}x = 3\cos \left( {x — \frac{\pi }{2}} \right).\) Используя формулу приведения, получим: \(\cos \left( {x — \frac{\pi }{2}} \right) = \sin x.\;\) Тогда уравнение примет вид: \(4{\sin ^3}x — 3\sin x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\,\;\;\sin x\left( {4{{\sin }^2}x — 3} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,\;}\\{{{\sin }^2}x = \frac{3}{4}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\frac{{1 — \cos 2x}}{2} = \frac{3}{4}}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\cos 2x = — \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi k,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{2x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi k,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x = \pm \frac{\pi }{3} + \pi k,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,k \in Z.\) \(x = — \frac{\pi }{3} + 4\pi = \frac{{11\pi }}{3};\;\;\;x = 4\pi ;\;\;\;x = \frac{\pi }{3} + 4\pi = \frac{{13\pi }}{3}.\) Ответ: а) \(\pi k,\,\,\;\,\, \pm \frac{\pi }{3} + \pi k,\;\;\;k\, \in \,Z;\) б) \(\frac{{11\pi }}{3};\,\,\,\,4\pi ;\;\;\;\frac{{13\pi }}{3}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\frac{{7\pi }}{2};\frac{{9\pi }}{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: