93В. а) Решите уравнение \(2{\cos ^2}x + 1 = 2\sqrt 2 \cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} — x} \right)\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\frac{{3\pi }}{2};3\pi } \right].\)
а) \(2{\cos ^2}x + 1 = 2\sqrt 2 \cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} — x} \right).\) Используя формулу приведения, получим: \(\cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} — x} \right) = — \sin x.\;\) Тогда уравнение примет вид: \(2{\cos ^2}x + 1 = — 2\sqrt 2 \sin x.\) Так как \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1,\) то \({\cos ^2}x = 1 — {\sin ^2}x.\) Тогда уравнение примет вид: \(2 — 2{\sin ^2}x + 1 + 2\sqrt 2 \sin x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2{\sin ^2}x — 2\sqrt 2 \sin x — 3 = 0.\) Пусть \(\sin x = t,\,\,\,\,\,t\, \in \,\left[ { — 1;1} \right].\) Тогда уравнение примет вид: \(2{t^2}-2\sqrt 2 t-3 = 0;\;\;\;\;D = 8 + 24 = 32;\;\;\;\;\sqrt D = 4\sqrt 2 ;\) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{{2\sqrt 2 -4\sqrt 2 }}{4} = -\frac{{\sqrt 2 }}{2},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{t = \frac{{2\sqrt 2 + 4\sqrt 2 }}{4} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2} \notin \left[ {-1;1} \right].}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\sin x = — \frac{{\sqrt 2 }}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = — \frac{\pi }{4} + 2\pi k,\;\,}\\{x = — \frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in z.\) \(x = — \frac{\pi }{4} + 2\pi = \frac{{7\pi }}{4}.\) Ответ: а) \( — \frac{\pi }{4} + 2\pi k,\,\,\;\,\, — \frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,\;\;\;k\, \in \,Z;\) б) \(\frac{{7\pi }}{4}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\frac{{3\pi }}{2};3\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значение: