94В. а) Решите уравнение \(2{\sin ^2}x = 3\sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{2} — x} \right) + 4\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\pi ;\frac{{5\pi }}{2}} \right].\)
а) \(2{\sin ^2}x = 3\sqrt 2 \sin x\left( {\frac{\pi }{2} — x} \right) + 4.\) Используя формулу приведения, получим: \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} — x} \right) = \cos x.\;\) Тогда уравнение примет вид: \(2{\sin ^2}x = 3\sqrt 2 \cos x + 4.\) Так как \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1,\) то \({\sin ^2}x = 1 — {\cos ^2}x.\) Уравнение примет вид: \(2 — 2{\cos ^2}x — 3\sqrt 2 \cos x — 4 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2{\cos ^2}x + 3\sqrt 2 \cos x + 2 = 0.\) Пусть \(\cos x = t,\,\,\,\,\,t\, \in \,\left[ { — 1;1} \right].\) Тогда уравнение примет вид: \(2{t^2} + 3\sqrt 2 t + 2 = 0;\;\;\;\,\;D = 18-16 = 2;\;\;\,\;\;\sqrt D = \sqrt 2 ;\) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{{-3\sqrt 2 + \sqrt 2 }}{4} = -\frac{{\sqrt 2 }}{2},\,\;\;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{t = \frac{{-3\sqrt 2 -\sqrt 2 }}{4} = -\sqrt 2 \notin \left[ {-1;1} \right].}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\cos x = — \frac{{\sqrt 2 }}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \pm \frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = — \frac{{3\pi }}{4} + 2\pi = \frac{{5\pi }}{4}.\) Ответ: а) \( \pm \frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,\;\;\;k\, \in \,Z;\) б) \(\frac{{5\pi }}{4}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\pi ;\frac{{5\pi }}{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значение: