95В. а) Решите уравнение  \(1 + \cos 6x = 2{\sin ^2}5x\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку  \(\left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right].\)

Ответ

ОТВЕТ:  а) \(\frac{\pi }{{16}} + \frac{{\pi k}}{8};\quad \frac{\pi }{4} + \frac{{\pi k}}{2};\quad k \in Z;\)

б) \(\frac{\pi }{{16}};\;\;\frac{{3\pi }}{{16}};\;\;\frac{\pi }{4}.\)

Решение

а) \(1 + \cos 6x = 2{\sin ^2}5x.\)

Воспользуемся формулой понижения степени: \({\sin ^2}\alpha  = \frac{{1 — \cos 2\alpha }}{2}.\) Тогда уравнение примет вид:

\(1 + \cos 6x = 2 \cdot \frac{{1 — \cos 10x}}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos 6x + \cos 10x = 0.\)

Воспользуемся формулой суммы косинусов: \(\cos \alpha  + \cos \beta  = 2\cos \frac{{\alpha  + \beta }}{2}\cos \frac{{\alpha  — \beta }}{2}.\) Тогда уравнение примет вид:

\(2\cos \frac{{6x + 10x}}{2}\cos \frac{{6x — 10x}}{2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2\cos 8x\cos 2x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos 8x = 0,}\\{\cos 2x = 0\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{8x = \frac{\pi }{2} + \pi k,}\\{2x = \frac{\pi }{2} + \pi k\;}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;} \right.\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{{16}} + \frac{{\pi k}}{8},\;}\\{x = \frac{\pi }{4} + \frac{{\pi k}}{2},\;\;}\end{array}\;\;\;\;\;k \in Z.} \right.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right],\) с помощью двойного неравенства, учитывая, что \(k \in Z\):

\(0 \le \frac{\pi }{{16}} + \frac{{\pi k}}{8} \le \frac{\pi }{4},\)

\( — \frac{\pi }{{16}} \le \frac{{\pi k}}{8} \le \frac{{3\pi }}{{16}},\)

\( — \frac{1}{2} \le k \le \frac{3}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;k = 0,\;\;\;k = 1.\)

При \(k = 0,\) \(x = \frac{\pi }{{16}}.\)

При \(k = 1,\) \(x = \frac{\pi }{{16}} + \frac{\pi }{8} = \frac{{3\pi }}{{16}}.\)

 \(0 \le \frac{\pi }{4} + \frac{{\pi k}}{2} \le \frac{\pi }{4},\)

\( — \frac{\pi }{4} \le \frac{{\pi k}}{4} \le 0,\)

\( — \frac{1}{2} \le k \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;k = 0.\)

При \(k = 0,\) \(x = \frac{\pi }{4}.\)

Следовательно, заданному промежутку принадлежат корни: \(x = \frac{\pi }{{16}};\,\,\;\,x = \frac{{3\pi }}{{16}};\;\,\,\,x = \frac{\pi }{4}.\)

Ответ:  а)  \(\frac{\pi }{{16}} + \frac{{\pi k}}{8},\,\,\;\,\,\frac{\pi }{4} + \frac{{\pi k}}{2},\;\;\;k\, \in \,Z;\)

             б)  \(\frac{\pi }{{16}};\,\,\,\frac{{3\pi }}{{16}};\,\,\,\frac{\pi }{4}.\)