96В. а) Решите уравнение \(2\sin \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right)\sin \left( {\frac{\pi }{4} — x} \right) + {\sin ^2}x = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \pi ;\pi } \right].\)
а) \(2\sin \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right)\sin \left( {\frac{\pi }{4} — x} \right) + {\sin ^2}x = 0.\) Воспользуемся формулами синуса суммы и разности: \(\sin \left( {\alpha + \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta ,\) \(\sin \left( {\alpha — \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta — \cos \alpha \sin \beta .\) Тогда уравнение примет вид: \(2\left( {\sin \frac{\pi }{4}\cos x + \cos \frac{\pi }{4}\sin x} \right)\left( {\sin \frac{\pi }{4}\cos x — \cos \frac{\pi }{4}\sin x} \right) + {\sin ^2}x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;2\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x} \right)\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x — \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x} \right) + {\sin ^2}x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;2\left( {\frac{2}{4}{{\cos }^2}x — \frac{2}{4}{{\sin }^2}x} \right) + {\sin ^2}x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\cos ^2}x — {\sin ^2}x + {\sin ^2}x = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\cos ^2}x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x = \frac{\pi }{2} + \pi k,\;\;\;k \in Z.\) \(x = \frac{\pi }{2} — \pi = — \frac{\pi }{2};\;\;\;x = \frac{\pi }{2}.\) Ответ: а) \(\frac{\pi }{2} + \pi k,\;\;\;k\, \in \,Z;\) б) \( — \frac{\pi }{2};\;\;\;\frac{\pi }{2}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \pi ;\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: