97В. а) Решите уравнение \(\sin x + 2\sin \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) = \sqrt 3 \sin 2x + 1\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \frac{{7\pi }}{2}; — 2\pi } \right].\)
а) \(\sin x + 2\sin x\left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) = \sqrt 3 \sin 2x + 1.\) Воспользуемся формулой синуса суммы: \(\sin \left( {\alpha + \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta .\) Тогда уравнение примет вид: \(\sin x + 2\sin 2x\cos \frac{\pi }{6} + 2\cos 2x\sin \frac{\pi }{6} = \sqrt 3 \sin 2x + 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \(\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin x + \sqrt 3 \sin 2x + \cos 2x = \sqrt 3 \sin 2x + 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin x + \cos 2x — 1\; = 0.\) Так как \(\cos 2x = 1 — 2{\sin ^2}x,\) то уравнение примет вид: \(\sin x + 1 — 2{\sin ^2}x — 1\; = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin x\left( {2\sin x — 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,}\\{\sin x = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x = \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\;}\\{x = \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = \frac{{5\pi }}{6} — 4\pi = — \frac{{19\pi }}{6};\;\;\;x = — 3\pi ;\;\;\;x = — 2\pi .\) Ответ: а) \(\frac{\pi }{6} + 2\pi k;\;\;\;\frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k;\;\;\;\pi k;\;\;\;k\, \in \,Z;\) б) \( — \frac{{19\pi }}{6};\;\;\; — 3\pi ;\;\;\; — 2\pi .\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \frac{{7\pi }}{2}; — 2\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: