а) \(\sin x + 2\sin x\left( {2x + \dfrac{\pi }{6}} \right) = \sqrt 3 \sin 2x + 1.\)
Воспользуемся формулой синуса суммы:
\(\sin \left( {\alpha + \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta .\)
Тогда уравнение примет вид:
\(\sin x + 2\sin 2x\cos \dfrac{\pi }{6} + 2\cos 2x\sin \dfrac{\pi }{6} = \sqrt 3 \sin 2x + 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\(\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin x + \sqrt 3 \sin 2x + \cos 2x = \sqrt 3 \sin 2x + 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin x + \cos 2x — 1\; = 0.\)
Так как \(\cos 2x = 1 — 2{\sin ^2}x,\) то уравнение примет вид:
\(\sin x + 1 — 2{\sin ^2}x — 1\; = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin x\left( {2\sin x — 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,}\\{\sin x = \dfrac{1}{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x = \dfrac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\;}\\{x = \dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \dfrac{{7\pi }}{2}; — 2\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:
\(x = \dfrac{{5\pi }}{6} — 4\pi = — \dfrac{{19\pi }}{6};\;\;\;x = — 3\pi ;\;\;\;x = — 2\pi .\)
Ответ: а) \(\dfrac{\pi }{6} + 2\pi k;\;\;\;\dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k;\;\;\;\pi k;\;\;\;k\, \in \,Z;\)
б) \( — \dfrac{{19\pi }}{6};\;\;\; — 3\pi ;\;\;\; — 2\pi .\)