98В. а) Решите уравнение \(2{\sin ^2}x + \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos x\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — 2\pi ; — \frac{\pi }{2}} \right].\)
a) \(2{\sin ^2}x + \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos x.\) Воспользуемся формулой синуса суммы: \(\sin \left( {\alpha + \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta .\) Тогда уравнение примет вид: \(2{\sin ^2}x + \sqrt 2 \left( {\sin x\cos \frac{\pi }{4} + \cos x\sin \frac{\pi }{4}} \right) = \cos x\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;2{\sin ^2}x + \sqrt 2 \sin x \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \sqrt 2 \cos x \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} — \cos x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;2{\sin ^2}x + \sin x + \cos x — \cos x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2{\sin ^2}x + \sin x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin x\left( {2\sin x + 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,\;\;}\\{\sin x = — \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi k,\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x = — \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\;}\\{x = — \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = — 2\pi ;\;\;\;x = — \pi ;\;\;\;x = — \frac{{5\pi }}{6}.\) Ответ: а) \(\pi k;\,\,\,\, — \frac{\pi }{6} + 2\pi k;\,\,\,\, — \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k;\,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\) б) \( — 2\pi ;\,\,\, — \pi ;\;\;\; — \frac{{5\pi }}{6}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — 2\pi ; — \frac{\pi }{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: