99В. а) Решите уравнение  \(\sin 8\pi x + 1 = \cos 4\pi x + \sqrt 2 \cos \left( {4\pi x — \dfrac{\pi }{4}} \right);\)

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку  \(\left[ {2 — \sqrt 7 ;\sqrt 7  — 2} \right].\)

Ответ

ОТВЕТ:  а) \( \pm \dfrac{1}{{12}} + \dfrac{k}{2};\) \(\dfrac{1}{8} + \dfrac{k}{2};\,\,\,\,k \in Z;\)

б) \( \pm \dfrac{5}{{12}},\quad  \pm \dfrac{1}{{12}},\quad  \pm \dfrac{7}{{12}},\,\,\,\, — \dfrac{3}{8},\,\,\,\,\dfrac{1}{8},\,\,\,\,\dfrac{5}{8}\).

Решение

а) \(\sin 8\pi x + 1 = \cos 4\pi x + \sqrt 2 \cos \left( {4\pi x — \dfrac{\pi }{4}} \right).\)

Воспользуемся формулой косинуса разности:

 \(\cos \left( {\alpha  — \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta  + \sin \alpha \sin \beta .\)

Тогда уравнение примет вид:

\(\sin 8\pi x + 1 = \cos 4\pi x + \sqrt 2 \cos 4\pi x\cos \dfrac{\pi }{4} + \sqrt 2 \sin 4\pi x\sin \dfrac{\pi }{4}.\)

Так как \(\sin 8\pi x = 2\sin 4\pi x\cos 4\pi x,\) то уравнение примет вид:

\(2\sin 4\pi x\cos 4\pi x + 1 = \cos 4\pi x + \cos 4\pi x + \sin 4\pi x\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;2\sin 4\pi x\cos 4\pi x + 1 — 2\cos 4\pi x — \sin 4\pi x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\sin 4\pi x\left( {2\cos 4\pi x — 1} \right) — \left( {2\cos 4\pi x — 1} \right) = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left( {2\cos 4\pi x — 1} \right)\left( {\sin 4\pi x — 1} \right) = 0\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos 4\pi x = \dfrac{1}{2},}\\{\sin 4\pi x = 1\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{4\pi x =  \pm \dfrac{\pi }{3} + 2\pi k,}\\{4\pi x = \dfrac{\pi }{2} + 2\pi k\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  \pm \dfrac{1}{{12}} + \dfrac{k}{2},}\\{x = \dfrac{1}{8} + \dfrac{k}{2},\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {2 — \sqrt 7 ;\sqrt 7  — 2} \right],\) с помощью двойного неравенства, учитывая, что \(k \in Z\):

\(2 — \sqrt 7  \le \dfrac{1}{{12}} + \dfrac{k}{2} \le \sqrt 7  — 2,\)

\(\dfrac{{23}}{{12}} — \sqrt 7  \le \dfrac{k}{2} \le \sqrt 7  — \dfrac{{25}}{{12}},\)

\(\dfrac{{23}}{6} — 2\sqrt 7  \le k \le 2\sqrt 7  — \dfrac{{25}}{6} \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;k =  — 1,\;\;\;k = 0,\;\;\;k = 1.\)

При \(k =  — 1,\) \(x =  — \dfrac{5}{{12}}.\)

При \(k = 0,\) \(x = \dfrac{1}{{12}}.\)

При \(k = 1,\) \(x = \dfrac{7}{{12}}.\)

 \(2 — \sqrt 7  \le  — \dfrac{1}{{12}} + \dfrac{k}{2} \le \sqrt 7  — 2,\)

\(\dfrac{{25}}{{12}} — \sqrt 7  \le \dfrac{k}{2} \le \sqrt 7  — \dfrac{{23}}{{12}},\)

\(\dfrac{{25}}{6} — 2\sqrt 7  \le k \le 2\sqrt 7  — \dfrac{{23}}{6} \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;k =  — 1,\;\;\;k = 0,\;\;\;k = 1.\)

При \(k =  — 1,\) \(x =  — \dfrac{7}{{12}}.\)

При \(k = 0,\) \(x =  — \dfrac{1}{{12}}.\)

При \(k = 1,\) \(x = \dfrac{5}{{12}}.\)

 \(2 — \sqrt 7  \le \dfrac{1}{8} + \dfrac{k}{2} \le \sqrt 7  — 2,\)

\(\dfrac{{15}}{8} — \sqrt 7  \le \frac{k}{2} \le \sqrt 7  — \dfrac{{17}}{8},\)

\(\dfrac{{15}}{4} — 2\sqrt 7  \le k \le 2\sqrt 7  — \dfrac{{17}}{4}\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;k =  — 1,\;\;\;k = 0,\;\;\;k = 1.\)

При \(k =  — 1,\) \(x =  — \dfrac{3}{8}.\)

При \(k = 0,\) \(x = \dfrac{1}{8}.\)

При \(k = 1,\) \(x = \dfrac{5}{8}.\)

Следовательно, заданному промежутку принадлежат корни:

\(x =  \pm \dfrac{5}{{12}};\,\,\;\,x =  \pm \dfrac{1}{{12}};\;\,\,\,x =  \pm \dfrac{7}{{12}};\,\,\;\,x =  — \dfrac{3}{8};\;\,\,\,x = \dfrac{1}{8};\;\,\,\,x = \dfrac{5}{8}.\)

Ответ:  а)  \( \pm \dfrac{1}{{12}} + \dfrac{k}{2};\,\,\;\,\,\dfrac{1}{8} + \dfrac{k}{2};\;\;\;k\, \in \,Z;\)

             б)  \( \pm \dfrac{5}{{12}};\,\,\;\; \pm \dfrac{1}{{12}};\;\,\,\, \pm \dfrac{7}{{12}};\,\,\;\, — \dfrac{3}{8};\;\,\,\,\dfrac{1}{8};\;\,\,\,\dfrac{5}{8}.\)