99В. а) Решите уравнение \(\sin 8\pi x + 1 = \cos 4\pi x + \sqrt 2 \cos \left( {4\pi x — \frac{\pi }{4}} \right);\)
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {2 — \sqrt 7 ;\sqrt 7 — 2} \right].\)
ОТВЕТ: а) \( \pm \frac{1}{{12}} + \frac{k}{2};\) \(\frac{1}{8} + \frac{k}{2};\,\,\,\,k \in Z;\) б) \( \pm \frac{5}{{12}},\quad \pm \frac{1}{{12}},\quad \pm \frac{7}{{12}},\,\,\,\, — \frac{3}{8},\,\,\,\,\frac{1}{8},\,\,\,\,\frac{5}{8}\).
а) \(\sin 8\pi x + 1 = \cos 4\pi x + \sqrt 2 \cos \left( {4\pi x — \frac{\pi }{4}} \right).\) Воспользуемся формулой косинуса разности: \(\cos \left( {\alpha — \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta .\) Тогда уравнение примет вид: \(\sin 8\pi x + 1 = \cos 4\pi x + \sqrt 2 \cos 4\pi x\cos \frac{\pi }{4} + \sqrt 2 \sin 4\pi x\sin \frac{\pi }{4}.\) Так как \(\sin 8\pi x = 2\sin 4\pi x\cos 4\pi x,\) то уравнение примет вид: \(2\sin 4\pi x\cos 4\pi x + 1 = \cos 4\pi x + \cos 4\pi x + \sin 4\pi x\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;2\sin 4\pi x\cos 4\pi x + 1 — 2\cos 4\pi x — \sin 4\pi x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\sin 4\pi x\left( {2\cos 4\pi x — 1} \right) — \left( {2\cos 4\pi x — 1} \right) = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left( {2\cos 4\pi x — 1} \right)\left( {\sin 4\pi x — 1} \right) = 0\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos 4\pi x = \frac{1}{2},}\\{\sin 4\pi x = 1\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{4\pi x = \pm \frac{\pi }{3} + 2\pi k,}\\{4\pi x = \frac{\pi }{2} + 2\pi k\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pm \frac{1}{{12}} + \frac{k}{2},}\\{x = \frac{1}{8} + \frac{k}{2},\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {2 — \sqrt 7 ;\sqrt 7 — 2} \right],\) с помощью двойного неравенства, учитывая, что \(k \in Z\): \(\frac{{23}}{{12}} — \sqrt 7 \le \frac{k}{2} \le \sqrt 7 — \frac{{25}}{{12}},\)\(\frac{{23}}{6} — 2\sqrt 7 \le k \le 2\sqrt 7 — \frac{{25}}{6} \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;k = — 1,\;\;\;k = 0,\;\;\;k = 1.\) При \(k = — 1,\) \(x = — \frac{5}{{12}}.\) При \(k = 0,\) \(x = \frac{1}{{12}}.\) При \(k = 1,\) \(x = \frac{7}{{12}}.\) \(\frac{{25}}{{12}} — \sqrt 7 \le \frac{k}{2} \le \sqrt 7 — \frac{{23}}{{12}},\) \(\frac{{25}}{6} — 2\sqrt 7 \le k \le 2\sqrt 7 — \frac{{23}}{6} \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;k = — 1,\;\;\;k = 0,\;\;\;k = 1.\) При \(k = — 1,\) \(x = — \frac{7}{{12}}.\) При \(k = 0,\) \(x = — \frac{1}{{12}}.\) При \(k = 1,\) \(x = \frac{5}{{12}}.\) \(\frac{{15}}{8} — \sqrt 7 \le \frac{k}{2} \le \sqrt 7 — \frac{{17}}{8},\)\(\frac{{15}}{4} — 2\sqrt 7 \le k \le 2\sqrt 7 — \frac{{17}}{4}\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;k = — 1,\;\;\;k = 0,\;\;\;k = 1.\) При \(k = — 1,\) \(x = — \frac{3}{8}.\) При \(k = 0,\) \(x = \frac{1}{8}.\) При \(k = 1,\) \(x = \frac{5}{8}.\) Следовательно, заданному промежутку принадлежат корни: \(x = \pm \frac{5}{{12}};\,\,\;\,x = \pm \frac{1}{{12}};\;\,\,\,x = \pm \frac{7}{{12}};\,\,\;\,x = — \frac{3}{8};\;\,\,\,x = \frac{1}{8};\;\,\,\,x = \frac{5}{8}.\) Ответ: а) \( \pm \frac{1}{{12}} + \frac{k}{2};\,\,\;\,\,\frac{1}{8} + \frac{k}{2};\;\;\;k\, \in \,Z;\) б) \( \pm \frac{5}{{12}};\,\,\;\; \pm \frac{1}{{12}};\;\,\,\, \pm \frac{7}{{12}};\,\,\;\, — \frac{3}{8};\;\,\,\,\frac{1}{8};\;\,\,\,\frac{5}{8}.\)
\(2 — \sqrt 7 \le \frac{1}{{12}} + \frac{k}{2} \le \sqrt 7 — 2,\)
\(2 — \sqrt 7 \le — \frac{1}{{12}} + \frac{k}{2} \le \sqrt 7 — 2,\)
\(2 — \sqrt 7 \le \frac{1}{8} + \frac{k}{2} \le \sqrt 7 — 2,\)