1В. а) Решите уравнение \(19 \cdot {4^x}-5 \cdot {2^{x + 2}} + 1 = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {-5;-4} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(0;\;\;\,\,-{\log _2}19;\) б) \(-{\log _2}19.\)
а) \(19 \cdot {4^x}-5 \cdot {2^{x + 2}} + 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;19 \cdot {2^{2x}}-20 \cdot {2^x} + 1 = 0.\) Пусть \({2^x} = t,\;\;\;\;t > 0.\) Тогда уравнение примет вид: \(19{t^2}-20t + 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = \frac{1}{{19}},}\\{{t} = 1.\;\;\,}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^x} = \frac{1}{{19}},}\\{{2^x} = 1\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^x} = {2^{-{{\log }_2}19}},}\\{{2^x} = {2^0}\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -{{\log }_2}19,}\\{x = 0.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-5;\,\,-4} \right].\) Так как \(-5 = -{\log _2}32 < -{\log _2}19 < -{\log _2}16 = -4,\) то \(x = -{\log _2}19 \in \left[ {-5;\,\,-4} \right].\) \(x = 0 \notin \left[ {-5;-4} \right].\) Ответ: а) \(0;\;\;\,\,-{\log _2}19;\) б) \(-{\log _2}19.\)