10В. а) Решите уравнение \({3^{8{x^2}-6x-13}}-{3^{4{x^2}-3x-7}}-2 = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {-\sqrt 2 ;\,{{\log }_5}11} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(-1;\;\;\,\;\frac{7}{4};\) б) \(-1.\)
а) \({3^{8{x^2}-6x-13}}-{3^{4{x^2}-3x-7}}-2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{3^{8{x^2}-6x-14 + 1}}-{3^{4{x^2}-3x-7}}-2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;3 \cdot {3^{8{x^2}-6x-14}}-{3^{4{x^2}-3x-7}}-2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;3 \cdot {3^{2\left( {4{x^2}-3x-7} \right)}}-{3^{4{x^2}-3x-7}}-2 = 0.\) Пусть \({3^{4{x^2}-3x-7}} = t,\;\;\;\;t > 0.\) Тогда уравнение примет вид: \(3{t^2}-t-2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 1,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\,}\\{{t} = -\frac{2}{3} < 0.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \({3^{4{x^2}-3x-7}} = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{3^{4{x^2}-3x-7}} = {3^0}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;4{x^2}-3x-7 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = \frac{7}{4},\;}\\{{x} = -1.}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-\sqrt 2 ;\,{{\log }_5}11} \right]\) Так как \(\frac{7}{4} > \frac{3}{2} = \frac{3}{2}{\log _5}5 = \;{\log _5}{5^{\frac{3}{2}}} = {\log _5}\sqrt {125} > {\log _5}\sqrt {121} = {\log _5}11,\) то \(x = \frac{7}{4} \notin \left[ {-\sqrt 2 ;\,{{\log }_5}11} \right].\) Так как \(-\sqrt 2 < -1 = {\log _5}\frac{1}{5} < {\log _5}11,\) то \(x = -1 \in \left[ {-\sqrt 2 ;\,{{\log }_5}11} \right].\) Ответ: а) \(-1;\;\;\,\;\frac{7}{4};\) б) \(-1.\)