11В. а) Решите уравнение \(\frac{2}{{{3^x}-1}} + 4 = \frac{5}{{{3^x}-2}}\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {-{{\log }_3}2;-{\log_3}\frac{{10}}{9}} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(1;\;\;\;{\log _3}\frac{3}{4};\) б) \({\log _3}\frac{3}{4}.\)
a) \(\frac{2}{{{3^x}-1}} + 4 = \frac{5}{{{3^x}-2}}.\) Пусть \({3^x} = t,\;\;\;\;t > 0.\) Тогда уравнение примет вид: \(\frac{2}{{t-1}} + 4 = \frac{5}{{t-2}}\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{2t-4 + 4\left( {{t^2}-3t + 2} \right)-5t + 5}}{{\left( {t-1} \right)\left( {t-2} \right)}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{4{t^2}-15t + 9}}{{\left( {t-1} \right)\left( {t-2} \right)}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4{t^2}-15t + 9 = 0,}\\{t-1 \ne 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{t-2 \ne 0\,\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;} \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 3,}\\{t = \frac{3}{4}}\end{array}} \right.}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{t \ne 1,\;\;}\\{t \ne 2\;\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 3,\;}\\{t = \frac{3}{4}.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^x} = 3,\,}\\{{3^x} = \frac{3}{4}\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^x} = {3^1},\,\;\;\;\,}\\{{3^x} = {3^{{{\log }_3}\frac{3}{4}}}\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1,\,\;\;\;\;\,\,\;\,}\\{x = {{\log }_3}\frac{3}{4}.}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-{{\log }_3}2;-{\log_3}\frac{{10}}{9}} \right].\) Так как \(1 = {\log _3}3 > {\log _3}\frac{3}{{10}} = -{\log _3}\frac{{10}}{3},\) то \(x = 1\,\,\, \notin \,\,\left[ {-{{\log }_3}2;-{\log_3}\frac{{10}}{9}} \right].\) Так как \(-{\log _3}2 < {\log _3}\frac{3}{4} = -{\log _3}\frac{4}{3} < -{\log _3}\frac{{10}}{9},\) то \(x = {\log _3}\frac{3}{4}\,\,\, \in \,\,\left[ {-{{\log }_3}2;-{{\log }_3}\frac{{10}}{9}} \right].\) Ответ: а) \(1;\;\;\;{\log _3}\frac{3}{4};\) б) \({\log _3}\frac{3}{4}.\)