12В. а) Решите уравнение \(2 \cdot {9^x}-5 \cdot {6^x} + 3 \cdot {4^x} = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {{\log_3}\frac{1}{2};{\log_3}\frac{3}{2}} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(0;\;\;\;1;\) б) \(0.\)
а) \(2 \cdot {9^x}-5 \cdot {6^x} + 3 \cdot {4^x} = 0\left| {:{4^x} > 0} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2 \cdot {\left( {\frac{9}{4}} \right)^x}-5 \cdot {\left( {\frac{6}{4}} \right)^x} + 3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2 \cdot {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{2x}}-5 \cdot {\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} + 3 = 0.\) Пусть \({\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} = t,\;\;\;\;t > 0.\) Тогда уравнение примет вид: \(2{t^2}-5t + 3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = \frac{3}{2},}\\{{t} = 1.\;}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^x} = \frac{3}{2},}\\{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^x} = 1\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^x} = {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^1},}\\{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^x} = {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^0}\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1,\,}\\{x = 0.}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {{\log_3}\frac{1}{2};{\log_3}\frac{3}{2}} \right].\) Так как \(1 = {\log _3}3 > {\log_3}\frac{3}{2},\) то \(x = 1\,\,\, \notin \,\,\left[ {{\log_3}\frac{1}{2};{\log_3}\frac{3}{2}} \right].\) Так как \({\log_3}\frac{1}{2} < {\log _3}1 = 0 <{\ log_3}\frac{3}{2},\) то \(x = 0\,\,\, \in \,\,\left[ {{\log_3}\frac{1}{2};{\log_3}\frac{3}{2}} \right].\) Ответ: а) \(0;\;\;\;1;\) б) \(0.\)