14В. а) Решите уравнение \(3 \cdot {9^{x\,-\,\frac{1}{2}}}-7 \cdot {6^x} + 3 \cdot {4^{x + 1}} = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {2;3} \right]\).
ОТВЕТ: а) \({\log _{\frac{3}{2}}}3;\;\;\;\;{\log _{\frac{3}{2}}}4;\) б) \({\log _{\frac{3}{2}}}3.\)
а) \(3 \cdot {9^{x\,-\,\frac{1}{2}}}-7 \cdot {6^x} + 3 \cdot {4^{x + 1}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{9^x}-7 \cdot {6^x} + 12 \cdot {4^x} = 0\left| {:{4^x} > 0} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {\frac{9}{4}} \right)^x}-7 \cdot {\left( {\frac{6}{4}} \right)^x} + 12 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {\frac{3}{2}} \right)^{2x}}-7 \cdot {\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} + 12 = 0.\) Пусть \({\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} = t,\;\;\;\;t > 0.\) Тогда уравнение примет вид: \({t^2}-7t + 12 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 4,}\\{{t} = 3.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^x} = 4,}\\{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^x} = 3\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^x} = {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^{{{\log }_{\frac{3}{2}}}4}},}\\{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^x} = {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^{{{\log }_{\frac{3}{2}}}3}}\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {{\log }_{\frac{3}{2}}}4,}\\{x = {{\log }_{\frac{3}{2}}}3.}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {2;3} \right].\) Так как \(3 = {\log _{\frac{3}{2}}}\frac{{27}}{8} < {\log _{\frac{3}{2}}}4,\) то \(x = {\log _{\frac{3}{2}}}4\,\,\, \notin \left[ {2;3} \right].\) Так как \(2 = {\log _{\frac{3}{2}}}\frac{9}{4} < {\log _{\frac{3}{2}}}3 < {\log _{\frac{3}{2}}}\frac{{27}}{8} = 3,\) то \(x = {\log _{\frac{3}{2}}}3 \in \left[ {2;3} \right].\) Ответ: а) \({\log _{\frac{3}{2}}}3;\;\;\;\;{\log _{\frac{3}{2}}}4;\) б) \({\log _{\frac{3}{2}}}3.\)