15В. а) Решите уравнение \(2 \cdot {16^{x\,-\,\frac{1}{4}}}-6,5 \cdot {12^x} + {9^{x + 1}} = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {2;3} \right]\).
ОТВЕТ: а) \({\log _{\frac{4}{3}}}2;\;\;\;{\log _{\frac{4}{3}}}\frac{9}{2};\) б) \({\log _{\frac{4}{3}}}2.\)
а) \(2 \cdot {16^{x\,-\,\frac{1}{4}}}-6,5 \cdot {12^x} + {9^{x + 1}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{16^{x\,}}-6,5 \cdot {12^x} + 9 \cdot {9^x} = 0\left| {:{9^x} > 0} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {\frac{{16}}{9}} \right)^{x\,}}-6,5 \cdot {\left( {\frac{{12}}{9}} \right)^x} + 9 = 0\left| { \cdot 2} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2 \cdot {\left( {\frac{4}{3}} \right)^{2x\,}}-13 \cdot {\left( {\frac{4}{3}} \right)^x} + 18 = 0.\) Пусть \({\left( {\frac{4}{3}} \right)^x} = t,\;\;\;\;t > 0.\) Тогда уравнение примет вид: \(2{t^2}-13t + 18 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = \frac{9}{2},}\\{{t} = 2.\,}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^x} = \frac{9}{2},}\\{{{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^x} = 2\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^x} = {{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^{{{\log }_{\frac{4}{3}}}\frac{9}{2}}},}\\{{{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^x} = {{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^{{{\log }_{\frac{4}{3}}}2}}\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {{\log }_{\frac{4}{3}}}\frac{9}{2},}\\{x = {{\log }_{\frac{4}{3}}}2.\;}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {2;3} \right].\) Так как \(3 = {\log _{\frac{4}{3}}}\frac{{64}}{{27}} < {\log _{\frac{4}{3}}}\frac{9}{2},\) то \(x = {\log _{\frac{4}{3}}}\frac{9}{2} \notin \left[ {2;3} \right].\) Так как \(2 = {\log _{\frac{4}{3}}}\frac{{16}}{9} < {\log _{\frac{4}{3}}}2 < {\log _{\frac{4}{3}}}\frac{{64}}{{27}} = 3,\) то \(x = {\log _{\frac{4}{3}}}2 \in \left[ {2;3} \right].\) Ответ: а) \({\log _{\frac{4}{3}}}2;\;\;\;{\log _{\frac{4}{3}}}\frac{9}{2};\) б) \({\log _{\frac{4}{3}}}2.\)