Профиль №13. Показательные уравнения. Задача 16В

ОТВЕТ:  а) \(\frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2};\)

               б) \(\frac{{3-\sqrt 5 }}{2}.\)

а)

\(7 \cdot {9^{{x^2}-3x + 1}} + 5 \cdot {6^{{x^2}-3x + 1}}-48 \cdot {4^{{x^2}-3x}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;63 \cdot {9^{{x^2}-3x}} + 30 \cdot {6^{{x^2}-3x}}-48 \cdot {4^{{x^2}-3x}} = 0\left| {:{4^{{x^2}-3x}} > 0} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,63 \cdot {\left( {\frac{9}{4}} \right)^{{x^2}-3x}} + 30 \cdot {\left( {\frac{6}{4}} \right)^{{x^2}-3x}}-48 = 0\left| {:3} \right.\,\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;21 \cdot {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{2\left( {{x^2}-3x} \right)}} + 10 \cdot {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{{x^2}-3x}}-16 = 0.\)

Пусть  \({\left( {\frac{3}{2}} \right)^{{x^2}-3x}} = t,\;\;\;\;t > 0.\)  Тогда уравнение примет вид:

\(21{t^2} + 10t-16 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{2}{3},\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{t = -\frac{8}{7} < 0.}\end{array}} \right.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\({\left( {\frac{3}{2}} \right)^{{x^2}-3x}} = \frac{2}{3}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {\frac{3}{2}} \right)^{{x^2}-3x}} = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{-1}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2}-3x + 1 = 0;\)

\(D = 9-4 = 5;\;\;\;\;\;\sqrt D  = \sqrt 5 ;\,\,\,\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2},}\\{x = \frac{{3-\sqrt 5 }}{2}.}\end{array}} \right.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку  \(\left[ {-1;2} \right].\)

Так как  \(\sqrt 5  > \sqrt 4  = 2,\)  то  \(3 + \sqrt 5  > 5,\)  значит,  \(\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2} > \frac{5}{2}.\)  Поэтому,  \(x = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2} \notin \left[ {-1;2} \right].\)

Так как  \(-3 = -\sqrt 9  < -\sqrt 5  < -\sqrt 4  = -2,\)  то,  \(0 < 3-\sqrt 5  < 1,\)  значит,  \(0 < \frac{{3-\sqrt 5 }}{2} < \frac{1}{2}.\)  Поэтому,  \(x = \frac{{3-\sqrt 5 }}{2} \in \left[ {-1;2} \right].\)

Ответ:  а) \(\frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2};\)

             б) \(\frac{{3-\sqrt 5 }}{2}.\)