17В. а) Решите уравнение \(5 \cdot {4^{{x^2} + 4x}} + 20 \cdot {10^{{x^2} + 4x-1}}-7 \cdot {25^{{x^2} + 4x}} = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {-3;1} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(-4;\;\;\;0;\) б) \(0.\)
а) \(5 \cdot {4^{{x^2} + 4x}} + 20 \cdot {10^{{x^2} + 4x-1}}-7 \cdot {25^{{x^2} + 4x}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;5 \cdot {4^{{x^2} + 4x}} + 2 \cdot {10^{{x^2} + 4x}}-7 \cdot {25^{{x^2} + 4x}} = 0\left| {:{{25}^{{x^2} + 4x}} > 0} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;5 \cdot {\left( {\frac{4}{{25}}} \right)^{{x^2} + 4x}} + 2 \cdot {\left( {\frac{{10}}{{25}}} \right)^{{x^2} + 4x}}-7 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;5 \cdot {\left( {\frac{2}{5}} \right)^{2\left( {{x^2} + 4x} \right)}} + 2 \cdot {\left( {\frac{2}{5}} \right)^{{x^2} + 4x}}-7 = 0.\) Пусть \({\left( {\frac{2}{5}} \right)^{{x^2} + 4x}} = t,\;\;\;\;t > 0.\) Тогда уравнение примет вид: \(5{t^2} + 2t-7 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 1,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\,}\\{{t} = -\frac{7}{5} < 0.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \({\left( {\frac{2}{5}} \right)^{{x^2} + 4x}} = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {\frac{2}{5}} \right)^{{x^2} + 4x}} = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^0}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} + 4x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\left( {x + 4} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -4,}\\{x = 0.\;\;}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-3;1} \right].\) Так как \(-4 < -3,\) то \(x = -4 \notin \left[ {-3;1} \right].\) Так как \(-3 < 0 < 1,\) то \(x = 0 \in \left[ {-3;1} \right].\) Ответ: а) \(-4;\;\;\;0;\) б) \(0.\)