18В. а) Решите уравнение \({8^x}-9 \cdot {2^{x + 1}} + {2^{5-x}} = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {{\log_5}2;{\log_5}20} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(\frac{1}{2};\;\;\;2;\) б) \(\frac{1}{2}.\)
а) \({8^x} + 9 \cdot {2^{x + 1}} + {2^{5-x}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{2^{3x}}-18 \cdot {2^x} + \frac{{32}}{{{2^x}}} = 0.\) Пусть \({2^x} = t,\;\;\;\;t > 0.\) Тогда уравнение примет вид: \({t^3}-18t + \frac{{32}}{t} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{t^4}-18{t^2} + 32 = 0.\) Пусть \({t^2} = y.\) Тогда уравнение примет вид: \({y^2}-18y + 32 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{y} = 2,\;\,}\\{{y} = 16.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к переменной t: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t^2} = 2,\,}\\{{t^2} = 16}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \sqrt 2 ,\;\;\,}\\{t = -\sqrt 2 ,}\\{t = 4,\;\;\;\;\;\,}\\{t = -4.\;\;\;}\end{array}} \right.\) Так как \(t > 0,\) то \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 4,\;\;\,}\\{t = \sqrt 2 .}\end{array}} \right.\) Вернёмся к переменной x: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^x} = 4,\;\;}\\{{2^x} = \sqrt 2 }\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^x} = {2^2},}\\{{2^x} = {2^{\frac{1}{2}}}\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2,\,}\\{x = \frac{1}{2}.}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {{\log_5}2;{\log_5}20} \right]\). Так как \(2 = {\log _5}25 > {\log _5}20,\) то \(x = 2 \notin \left[ {{\log_5}2;{\log_5}20} \right].\) Так как \({\log _5}2 < {\log _5}\sqrt 5 = \frac{1}{2} < {\log _5}20,\) то \(x = \frac{1}{2} \in \left[ {{\log_5}2;{\log_5}20} \right].\) Ответ: а) \(\frac{1}{2};\;\;\;2;\) б) \(\frac{1}{2}.\)