Профиль №13. Показательные уравнения. Задача 19Вmath100admin44242025-04-04T08:37:55+03:00
19В. а) Решите уравнение \({0,6^x} \cdot {\left( {\dfrac{{25}}{9}} \right)^{{x^2}-12}} = {\left( {\dfrac{{27}}{{125}}} \right)^3}\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {-4;2} \right]\).
Ответ
ОТВЕТ: а) \(-2,5;\;\;\;3;\)
б) \(-2,5.\)
Решение
a)
\({0,6^x} \cdot {\left( {\dfrac{{25}}{9}} \right)^{{x^2}-12}} = {\left( {\dfrac{{27}}{{125}}} \right)^3}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {\dfrac{5}{3}} \right)^{-x}} \cdot {\left( {\dfrac{5}{3}} \right)^{2{x^2}-24}} = {\left( {\dfrac{5}{3}} \right)^{-9}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {\dfrac{5}{3}} \right)^{2{x^2}-24-x}} = {\left( {\dfrac{5}{3}} \right)^{-9}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2{x^2}-24-x = -9\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;2{x^2}-x-15 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = 3,\;\;\;\,}\\{{x} = -\dfrac{5}{2}.}\end{array}} \right.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-4;2} \right].\)
Так как \(3 > 2,\) то \(x = 3\,\,\, \notin \,\,\left[ {-4;2} \right].\)
Так как \(-4 < -2,5 < 2,\) то \(x = -2,5\,\,\, \in \,\,\left[ {-4;2} \right].\)
Ответ: а) \(-2,5;\;\;\;3;\)
б) \(-2,5.\)