2В. а) Решите уравнение \({4^x}-{2^{x + 3}} + 15 = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {2;\sqrt {10} } \right]\).
ОТВЕТ: а) \({\log _2}3;\;\;\;\;{\log _2}5;\) б) \({\log _2}5.\)
а) \({4^x}-{2^{x + 3}} + 15 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{2^{2x}}-8 \cdot {2^x} + 15 = 0.\) Пусть \({2^x} = t,\;\;\;\;t > 0.\) Тогда уравнение примет вид: \({t^2}-8t + 15 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 3,}\\{{t} = 5.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^x} = 3,}\\{{2^x} = 5\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^x} = {2^{{{\log }_2}3}},}\\{{2^x} = {2^{{{\log }_2}5}}\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {{\log }_2}3,}\\{x = {{\log }_2}5.}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {2;\,\,\sqrt {10} } \right].\) Так как \(2 = {\log _2}4 > {\log _2}3,\) то \(x = {\log _2}3 \notin \left[ {2;\sqrt {10} } \right].\) Так как \(2 = {\log _2}4 < {\log _2}5 < {\log _2}8 = 3 = \sqrt 9 < \sqrt {10} ,\) то \(x = {\log _2}5 \in \left[ {2;\sqrt {10} } \right].\) Ответ: а) \({\log _2}3;\;\;\;\;{\log _2}5;\) б) \({\log _2}5.\)