20В. а) Решите уравнение \(\sqrt[3]{{{3^{x + 1}}}} = {\left( {\sqrt[4]{{{9^{x-2}}}}} \right)^{x + 1}}\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {{\log_4}\frac{1}{3};{\log_3}28} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(-1;\;\;\;\frac{8}{3};\) б) \(\frac{8}{3}.\)
а) \(\sqrt[3]{{{3^{x + 1}}}} = {\left( {\sqrt[4]{{{9^{x-2}}}}} \right)^{x + 1}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{3^{\frac{{x + 1}}{3}}} = {\left( {{9^{\frac{{x-2}}{4}}}} \right)^{x + 1}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{3^{\frac{{x + 1}}{3}}} = {3^{\frac{{2\left( {x-2} \right)\left( {x + 1} \right)}}{4}}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{\left( {x-2} \right)\left( {x + 1} \right)}}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2\left( {x + 1} \right)-3\left( {x-2} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x + 1} \right)\left( {2-3x + 6} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -1,}\\{x = \frac{8}{3}.\;}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {{\log_4}\frac{1}{3};{\log_3}28} \right]\). Так как \(-1 = {\log _4}\frac{1}{4} < {\log _4}\frac{1}{3},\) то \(x = -1 \notin \left[ {{{\log }_4}\frac{1}{3};{{\log }_3}28} \right].\) Так как \({\log _4}\frac{1}{3} < {\log _4}1 = 0 < \frac{8}{3} < 3 = {\log _3}27 < {\log _3}28,\) то \(x = \frac{8}{3} \in \left[ {{{\log }_4}\frac{1}{3};{{\log }_3}28} \right]\). Ответ: а) \(-1;\;\;\;\frac{8}{3};\) б) \(\frac{8}{3}.\)