21В. а) Решите уравнение \({2^{2\left| x \right|}}-3 \cdot {2^{\left| x \right|}}-4 = 0\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {-\sqrt[3]{7};\sqrt[3]{9}} \right]\).

Ответ

ОТВЕТ:  а) \( \pm 2;\)

               б) \(2.\)

Решение

а) \({2^{2\left| x \right|}}-3 \cdot {2^{\left| x \right|}}-4 = 0.\)

Пусть  \({2^{\left| x \right|}} = t,\;\;\;\;t > 0.\)  Тогда уравнение примет вид:

\({t^2}-3t-4 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 4,\;\;\;\;\;\,\;\,}\\{{t} = -1 < 0.}\end{array}} \right.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\({2^{\left| x \right|}} = 4\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;{2^{\left| x \right|}} = {2^2}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left| x \right| = 2\,\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -2,}\\{x = 2.\;\;}\end{array}} \right.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку  \(\left[ {-\sqrt[3]{7};\sqrt[3]{9}} \right].\)

Так как  \(-2 = \sqrt[3]{{-8}} < \sqrt[3]{{-7}},\)  то  \(x = -2 \notin \left[ {-\sqrt[3]{7};\sqrt[3]{9}} \right].\)

Так как  \(-\sqrt[3]{7} < 2 = \sqrt[3]{8} < \sqrt[3]{9},\)  то  \(x = 2 \in \left[ {-\sqrt[3]{7};\sqrt[3]{9}} \right].\)

Ответ:  а) \( \pm 2;\)

             б) \(2.\)