22В. а) Решите уравнение \({2^{{x^2}-3}} \cdot {5^{{x^2}-3}} = 0,01 \cdot {\left( {{{10}^{x-1}}} \right)^3}\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {{\log_5}4;{\log_5}24} \right]\).

Ответ

ОТВЕТ:  а) \(1;\;\;\;2;\)

               б) \(1.\)

Решение

а)

\({2^{{x^2}-3}} \cdot {5^{{x^2}-3}} = 0,01 \cdot {\left( {{{10}^{x-1}}} \right)^3}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{10^{{x^2}-3}} = {10^{-2}} \cdot {10^{3x-3}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{10^{{x^2}-3}} = {10^{-2 + 3x-3}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{x^2}-3 = 3x-5\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2}-3x + 2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = 2,}\\{{x} = 1.}\end{array}} \right.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {{\log_5}4;{\log_5}24} \right]\).

Так как  \(2 ={\log_5}25 > {\log_5}24,\)  то  \(x = 2 \notin \left[ {{ \log_5}4;{\log_5}24} \right].\)

Так как  \({\log_5}4 < 1 = {\log_5}5 < {\log_5}25,\)  то  \(x = 1 \in \left[ {{\log_5}4;{\log_5}24} \right].\)

Ответ:  а) \(1;\;\;\;2;\)

             б) \(1.\)