ЕГЭ Профиль. Показательные уравнения. Задача 22Вmath100admin44242026-08-30T20:42:38+03:00
22В. а) Решите уравнение \({2^{{x^2}-3}} \cdot {5^{{x^2}-3}} = 0,01 \cdot {\left( {{{10}^{x-1}}} \right)^3}\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {{\log_5}4;{\log_5}24} \right]\).
Ответ
ОТВЕТ: а) \(1;\;\;\;2;\)
б) \(1.\)
Решение
а)
\({2^{{x^2}-3}} \cdot {5^{{x^2}-3}} = 0,01 \cdot {\left( {{{10}^{x-1}}} \right)^3}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{10^{{x^2}-3}} = {10^{-2}} \cdot {10^{3x-3}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{10^{{x^2}-3}} = {10^{-2 + 3x-3}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{x^2}-3 = 3x-5\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2}-3x + 2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = 2,}\\{{x} = 1.}\end{array}} \right.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {{\log_5}4;{\log_5}24} \right]\).
Так как \(2 ={\log_5}25 > {\log_5}24,\) то \(x = 2 \notin \left[ {{ \log_5}4;{\log_5}24} \right].\)
Так как \({\log_5}4 < 1 = {\log_5}5 < {\log_5}25,\) то \(x = 1 \in \left[ {{\log_5}4;{\log_5}24} \right].\)
Ответ: а) \(1;\;\;\;2;\)
б) \(1.\)