23В. а) Решите уравнение \({3^{2{x^2}}}-2 \cdot {3^{{x^2} + x + 6}} + {3^{2x + 12}} = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {-\sqrt[3]{9};\sqrt 8 } \right]\).
ОТВЕТ: а) \(-2;\;\;\;3;\) б) \(-2.\)
а) \({3^{2{x^2}}}-2 \cdot {3^{{x^2} + x + 6}} + {3^{2x + 12}} = 0\left| {:{3^{2x + 12}} > 0} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{3^{2{x^2}}}}}{{{3^{2x + 12}}}}-2 \cdot \frac{{{3^{{x^2} + x + 6}}}}{{{3^{2x + 12}}}} + 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{3^{2{x^2}-2x-12}}-2 \cdot {3^{{x^2}-x-6}} + 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{3^{2\left( {{x^2}-x-6} \right)}}-2 \cdot {3^{{x^2}-x-6}} + 1 = 0.\) Пусть \({3^{{x^2}-x-6}} = t,\;\;\;\;t > 0.\) Тогда уравнение примет вид: \({t^2}-2t + 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {t-1} \right)^2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t = 1.\) Вернёмся к прежней переменной: \({3^{{x^2}-x-6}} = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{3^{{x^2}-x-6}} = {3^0}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2}-x-6 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = 3,\;\;}\\{{x} = -2.}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-\sqrt[3]{9};\sqrt 8 } \right].\) Так как \(3 = \sqrt 9 > \sqrt 8 ,\) то \(x = 3 \notin \left[ {-\sqrt[3]{9};\sqrt 8 } \right].\) Так как \(-\sqrt[3]{9} < -\sqrt[3]{8} = -2 < \sqrt 8 ,\) то \(x = -2 \in \left[ {-\sqrt[3]{9};\sqrt 8 } \right].\) Ответ: а) \(-2;\;\;\;3;\) б) \(-2.\)