24В. а) Решите уравнение \({2^{2{x^2}}} + {2^{{x^2} + 2x + 2}} = {2^{5 + 4x}}\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {-1;2} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(1 \pm \sqrt 3 ;\) б) \(1-\sqrt 3 .\)
а) \({2^{2{x^2}}} + {2^{{x^2} + 2x + 2}} = {2^{5 + 4x}}\left| {:{2^{5 + 4x}} > 0} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{2^{2{x^2}}}}}{{{2^{5 + 4x}}}} + \frac{{{2^{{x^2} + 2x + 2}}}}{{{2^{5 + 4x}}}} = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{2^{2{x^2}-4x-5}} + {2^{{x^2}-2x-3}} = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2 \cdot {2^{2{x^2}-4x-6}} + {2^{{x^2}-2x-3}}-1 = 0.\) Пусть \({2^{{x^2}-2x-3}} = t,\;\;\;\;t > 0.\) Тогда уравнение примет вид: \(2{t^2} + t-1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = \frac{1}{2},\;\;\;\;\;\;\,}\\{{t} = -1 < 0.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \({2^{{x^2}-2x-3}} = \frac{1}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{2^{{x^2}-2x-3}} = {2^{-1}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2}-2x-2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = 1 + \sqrt 3 ,}\\{{x} = 1-\sqrt 3 .}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-1;2} \right].\) Так как \(\sqrt 3 > 1,\) то \(1 + \sqrt 3 > 2,\) значит, \(x = 1 + \sqrt 3 \notin \left[ {-1;2} \right].\) Так как \(-2 < -\sqrt 3 < -1,\) то \(-1 < 1-\sqrt 3 < 0,\) значит, \(x = 1-\sqrt 3 \in \left[ {-1;2} \right].\) Ответ: а) \(1 \pm \sqrt 3 ;\) б) \(1-\sqrt 3 .\)