26В. а) Решите уравнение \(3 \cdot {2^{x-2}} + {2^{\sqrt {{x^2} + 4-4x} }} = \frac{{13}}{2}\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {-1;\frac{5}{2}} \right]\).
ОТВЕТ: а) \({\log _2}\frac{2}{3};\quad {\log _2}\frac{{13}}{2};\) б) \({\log _2}\frac{2}{3}.\)
а) \(3 \cdot {2^{x-2}} + {2^{\sqrt {{x^2} + 4-4x} }} = \frac{{13}}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;3 \cdot {2^{x-2}} + {2^{\sqrt {{{\left( {x-2} \right)}^2}} }} = \frac{{13}}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;3 \cdot {2^{x-2}} + {2^{\left| {x-2} \right|}} = \frac{{13}}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ \begin{array}{l}x \ge 2,\\3 \cdot {2^{x-2}} + {2^{x-2}} = \frac{{13}}{2}\end{array} \right.\;\,}\\{\left\{ \begin{array}{l}x < 2,\\3 \cdot {2^{x-2}} + \frac{1}{{{2^{x-2}}}} = \frac{{13}}{2}.\end{array} \right.}\end{array}} \right.\) Рассмотрим первую систему: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 2,\\3 \cdot {2^{x-2}} + {2^{x-2}} = \frac{{13}}{2}\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}x \ge 2,\\4 \cdot {2^{x-2}} = \frac{{13}}{2}\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}x \ge 2,\\4 \cdot \frac{{{2^x}}}{4} = \frac{{13}}{2}\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}x \ge 2,\\{2^x} = {2^{{{\log }_2}\frac{{13}}{2}}}\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}x \ge 2,\\x = {\log _2}\frac{{13}}{2}\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = {\log _2}\frac{{13}}{2}.\) Рассмотрим вторую систему: \(\left\{ \begin{array}{l}x < 2,\\3 \cdot {2^{x-2}} + \frac{1}{{{2^{x-2}}}} = \frac{{13}}{2}.\end{array} \right.\) Пусть \({2^{x-2}} = t,\;\;\;\;t > 0.\) Тогда уравнение примет вид: \(3t + \frac{1}{t} = \frac{{13}}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;6{t^2}-13t + 2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = \frac{1}{6},}\\{{t} = 2.\,}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left\{ \begin{array}{l}x < 2,\\\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^{x-2}} = \frac{1}{6},}\\{{2^{x-2}} = 2\;\,}\end{array}} \right.\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}x < 2,\\\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^{x-2}} = {2^{{{\log }_2}\frac{1}{6}}},}\\{{2^{x-2}} = {2^1}\;\;\;\,\;\,}\end{array}} \right.\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}x < 2,\\\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-2 = {{\log }_2}\frac{1}{6},}\\{x-2 = 1\;\;\;\,\;\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.\end{array} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}x < 2,\\\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2-{{\log }_2}6,}\\{x = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\,\;\;\,\,}\end{array}} \right.\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = 2-{\log _2}6\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = {\log _2}\frac{2}{3}.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-1;\frac{5}{2}} \right].\) Так как \(\frac{5}{2} = \frac{5}{2}{\log _2}2 = {\log _2}\sqrt {32} < {\log _2}\frac{{13}}{2},\) то \(x = {\log _2}\frac{{13}}{2} \notin \left[ {-1;\frac{5}{2}} \right].\) Так как \(-1 = {\log _2}\frac{1}{2} < {\log _2}\frac{2}{3} < {\log _2}4 = 2 < \frac{5}{2},\) то \(x = {\log _2}\frac{2}{3} \in \left[ {-1;\frac{5}{2}} \right].\) Ответ: а) \({\log _2}\frac{2}{3};\quad {\log _2}\frac{{13}}{2};\) б) \({\log _2}\frac{2}{3}.\)