3В. а) Решите уравнение \({9^x}-{3^{x + 2}} + 14 = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {1;\sqrt 5 } \right]\).
ОТВЕТ: а) \({\log _3}2;\,\,\,\,{\log _3}7;\) б) \({\log _3}7.\)
a) \({9^x}-{3^{x + 2}} + 14 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{3^{2x}}-9 \cdot {3^x} + 14 = 0.\) Пусть \({3^x} = t,\;\;\;\;t > 0.\) Тогда уравнение примет вид: \({t^2}-9t + 14 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t_1} = 2,}\\{{t_2} = 7.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^x} = 2,}\\{{3^x} = 7\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^x} = {3^{{{\log }_3}2}},}\\{{3^x} = {3^{{{\log }_3}7}}\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {{\log }_3}2,}\\{x = {{\log }_3}7.}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {1;\,\,\sqrt 5 } \right].\) Так как \({\log _3}2 < {\log _3}3 = 1,\) то \(x = {\log _3}2\,\, \notin \,\,\left[ {1;\sqrt 5 } \right].\) Так как \(1 = {\log _3}3 < {\log _3}7 < {\log _3}9 = 2 = \sqrt 4 < \sqrt 5 ,\) то \(x = {\log _3}7\,\, \in \,\,\left[ {1;\sqrt 5 } \right].\) Ответ: а) \({\log _3}2;\,\,\,\,{\log _3}7;\) б) \({\log _3}7.\)