4В. а) Решите уравнение \({9^{x\,-\,\frac{1}{2}}}-8 \cdot {3^{x-1}} + 5 = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left( {1;\frac{7}{3}} \right)\).
ОТВЕТ: а) \(1;\;\,\;{\log _3}5;\) б) \({\log _3}5.\)
а) \({9^{x\,-\,\frac{1}{2}}}-8 \cdot {3^{x-1}} + 5 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{9^x}}}{{{9^{\frac{1}{2}}}}}-\frac{{8 \cdot {3^x}}}{3} + 5 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{3^{2x}}}}{3}-\frac{{8 \cdot {3^x}}}{3} + 5 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{3^{2x}}-8 \cdot {3^x} + 15 = 0.\) Пусть \({3^x} = t,\;\;\;\;t > 0.\) Тогда уравнение примет вид: \({t^2}-8t + 15 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 5,}\\{{t} = 3.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^x} = 5,}\\{{3^x} = 3\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^x} = {3^{{{\log }_3}5}},}\\{{3^x} = {3^1}\;\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {{\log }_3}5,}\\{x = 1.\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие интервалу \(\left( {1;\frac{7}{3}} \right).\) Так как \(1 = {\log _3}3 < {\log _3}5 < {\log _3}9 = 2 < \frac{7}{3},\) то \(x = {\log _3}5 \in \left( {1;\frac{7}{3}} \right);\) \(x = 1 \notin \left( {1;\frac{7}{3}} \right).\) Ответ: а) \(1;\;\,\;{\log _3}5;\) б) \({\log _3}5.\)