5В. а) Решите уравнение \({4^{{x^2}-2x + 1}} + {4^{{x^2}-2x}} = 20\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {-1;2} \right]\).

Ответ

ОТВЕТ:  а) \(1 \pm \sqrt 2 ;\)

               б) \(1-\sqrt 2 .\)

Решение

а)

\({4^{{x^2}-2x + 1}} + {4^{{x^2}-2x}} = 20\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;4 \cdot {4^{{x^2}-2x}} + {4^{{x^2}-2x}} = 20\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;5 \cdot {4^{{x^2}-2x}} = 20\left| {:5} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{4^{{x^2}-2x}} = {4^1}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2}-2x-1 = 0;\)

\(D = 4 + 4 = 8;\;\;\;\;\sqrt D  = 2\sqrt 2 ;\;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + \sqrt 2 ,}\\{x = 1-\sqrt 2 .}\end{array}} \right.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку  \(\left[ {-1;2} \right].\)

Так как  \(\sqrt 2  > 1,\)  то  \(1 + \sqrt 2  > 2,\)  значит,  \(x = 1 + \sqrt 2  \notin \left[ {-1;2} \right].\)

Так как  \(-2 < -\sqrt 2  < -1,\)  то  \(-1 < 1-\sqrt 2  < 0,\)  значит,  \(x = 1-\sqrt 2  \in \left[ {-1;2} \right].\)

Ответ:  а) \(1 \pm \sqrt 2 ;\)

              б) \(1-\sqrt 2 .\)