Профиль №13. Показательные уравнения. Задача 5Вmath100admin44242024-02-24T18:35:08+03:00
5В. а) Решите уравнение \({4^{{x^2}-2x + 1}} + {4^{{x^2}-2x}} = 20\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {-1;2} \right]\).
Ответ
ОТВЕТ: а) \(1 \pm \sqrt 2 ;\)
б) \(1-\sqrt 2 .\)
Решение
а)
\({4^{{x^2}-2x + 1}} + {4^{{x^2}-2x}} = 20\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;4 \cdot {4^{{x^2}-2x}} + {4^{{x^2}-2x}} = 20\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;5 \cdot {4^{{x^2}-2x}} = 20\left| {:5} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{4^{{x^2}-2x}} = {4^1}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2}-2x-1 = 0;\)
\(D = 4 + 4 = 8;\;\;\;\;\sqrt D = 2\sqrt 2 ;\;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + \sqrt 2 ,}\\{x = 1-\sqrt 2 .}\end{array}} \right.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-1;2} \right].\)
Так как \(\sqrt 2 > 1,\) то \(1 + \sqrt 2 > 2,\) значит, \(x = 1 + \sqrt 2 \notin \left[ {-1;2} \right].\)
Так как \(-2 < -\sqrt 2 < -1,\) то \(-1 < 1-\sqrt 2 < 0,\) значит, \(x = 1-\sqrt 2 \in \left[ {-1;2} \right].\)
Ответ: а) \(1 \pm \sqrt 2 ;\)
б) \(1-\sqrt 2 .\)