6В. а) Решите уравнение \({27^x}-5 \cdot {9^x}-{3^{x + 2}} + 45 = 0\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку  \(\left[ {{{\log }_3}4;\,{{\log }_3}10} \right].\) 

Ответ

ОТВЕТ:  а) \(1;\;\,\;{\log _3}5;\)

               б) \({\log _3}5.\)

Решение

а)

\({27^x}-5 \cdot {9^x}-{3^{x + 2}} + 45 = 0\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;{3^{3x}}-5 \cdot {3^{2x}}-9 \cdot {3^x} + 45 = 0\;\;\;\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;{3^{2x}}\left( {{3^x}-5} \right)-9\left( {{3^x}-5} \right) = 0\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{3^x}-5} \right)\left( {{3^{2x}}-9} \right) = 0\;\;\;\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^{2x}} = 9,}\\{{3^x} = 5\;\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^{2x}} = {3^2},\;\;}\\{{3^x} = {3^{{{\log }_3}5}}}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1,\;\;\;\;\;\,\;}\\{x = {{\log }_3}5.}\end{array}} \right.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {{{\log }_3}4;\,{{\log }_3}10} \right].\)

Так как  \(1 = {\log _3}3 < lo{g_3}4,\)  то  \(x = 1 \notin \left[ {{{\log }_3}4;\,{{\log }_3}10} \right].\)

Так как  \({\log _3}4 < {\log _3}5 < {\log _3}10,\)  то  \(x = {\log _3}5 \in \left[ {{{\log }_3}4;\,{{\log }_3}10} \right].\)

Ответ:  а) \(1;\;\,\;{\log _3}5;\)

             б) \({\log _3}5.\)