8В. а) Решите уравнение \({3^{4{x^2}-6x + 3}}-10 \cdot {3^{2{x^2}-3x + 1}} + 3 = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {{{\log }_3}\frac{1}{2};\,{{\log }_3}5} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(0;\;\;\;\frac{3}{2};\) б) \(0.\)
a) \({3^{4{x^2}-6x + 3}}-10 \cdot {3^{2{x^2}-3x + 1}} + 3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;27 \cdot {3^{2\left( {2{x^2}-3x} \right)}}-30 \cdot {3^{2{x^2}-3x}} + 3 = 0.\) Пусть \({3^{2{x^2}-3x}} = t,\;\;\;\;t > 0.\) Тогда уравнение примет вид: \(27{t^2}-30t + 3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 1,\;\,}\\{{t} = \frac{1}{9}.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^{2{x^2}-3x}} = 1,}\\{{3^{2{x^2}-3x}} = \frac{1}{9}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^{2{x^2}-3x}} = {3^0},\,}\\{{3^{2{x^2}-3x}} = {3^{-2}}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{x^2}-3x = 0,\;}\\{2{x^2}-3x = -2}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\left( {2x-3} \right) = 0,\;\;\;}\\{2{x^2}-3x + 2 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{3}{2},}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0,\;}\\{x \notin R\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{3}{2},}\\{x = 0.\;}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {{{\log }_3}\frac{1}{2};\,{{\log }_3}5} \right]\) Так как \(\frac{3}{2} = \frac{3}{2}{\log _3}3 = {\log _3}\sqrt {27} > {\log _3}\sqrt {25} = {\log _3}5,\) то \(x = \frac{3}{2} \notin \left[ {{{\log }_3}\frac{1}{2};\,{{\log }_3}5} \right].\) Так как \({\log _3}\frac{1}{2} < 0 = {\log _3}1 < {\log _3}5,\) то \(x = 0 \in \left[ {{{\log }_3}\frac{1}{2};\,{{\log }_3}5} \right].\) Ответ: а) \(0;\;\;\;\frac{3}{2};\) б) \(0.\)