9В. а) Решите уравнение \({2^{10{x^2}-8x-23}} + {2^{5{x^2}-4x-12}}-3 = 0\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {{{\log }_2}\frac{2}{3};\,{{\log }_2}5} \right]\).

Ответ

ОТВЕТ:  а) \(2;\;\;\;-\frac{6}{5};\)

               б) \(2.\)

Решение

а)

\({2^{10{x^2}-8x-23}} + {2^{5{x^2}-4x-12}}-3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{2^{10{x^2}-8x-24 + 1}} + {2^{5{x^2}-4x-12}}-3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;2 \cdot {2^{10{x^2}-8x-24}} + {2^{5{x^2}-4x-12}}-3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2 \cdot {2^{2\left( {5{x^2}-4x-12} \right)}} + {2^{5{x^2}-4x-12}}-3 = 0.\)

Пусть  \({2^{5{x^2}-4x-12}} = t,\;\;\;\;t > 0.\)  Тогда уравнение примет вид:

\(2{t^2} + t-3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 1,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\,}\\{{t} = -\frac{3}{2} < 0.}\end{array}} \right.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\({2^{5{x^2}-4x-12}} = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{2^{5{x^2}-4x-12}} = {2^0}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;5{x^2}-4x-12 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = -\frac{6}{5},}\\{{x} = 2.\;\;\;}\end{array}} \right.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку  \(\left[ {{{\log }_2}\frac{2}{3};\,{{\log }_2}5} \right]\)

Так как  \(-\frac{6}{5} < -1 = {\log _2}\frac{1}{2} < {\log _2}\frac{2}{3},\)  то  \(x = -\frac{6}{5} \notin \left[ {{{\log }_2}\frac{2}{3};\,{{\log }_2}5} \right].\)

Так как  \({\log _2}\frac{2}{3} < 2 = {\log _2}4 < {\log _2}5,\)  то  \(x = 2 \in \left[ {{{\log }_2}\frac{2}{3};\,{{\log }_2}5} \right].\)

Ответ:  а) \(2;\;\;\;-\frac{6}{5};\)

             б) \(2.\)