а) \({\log _2}\left( {{x^2}-14x} \right) = 5.\)
Запишем ОДЗ: \({x^2}-14x > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\left( {x-14} \right) > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\infty ;0} \right) \cup \left( {14;\infty } \right).\)
\({\log _2}\left( {{x^2}-14x} \right) = 5\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2}-14x = {2^5}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2}-14x-32 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = 16,\,}\\{{x} = -2.}\end{array}} \right.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {{\log_3}0,1;\;\,5\sqrt {10} } \right]\).
Так как \(16 = \sqrt {256} > \sqrt {250} = 5\sqrt {10} ,\) то \(x = 16\,\, \notin \,\left[ {{\log_3}0,1;\;\,5\sqrt {10} } \right].\)
Так как \({\log _3}0,1 = {\log _3}\frac{1}{{10}} < {\log _3}\frac{1}{9} = -2{\log _3}3 = -2 < 5\sqrt {10} ,\) то \(x = -2\,\, \in \,\left[ {{\log_3}0,1;\;\,5\sqrt {10} } \right].\)
Ответ: а) \(16;\;\;\;-2;\)
б) \(-2.\)