10В. а) Решите уравнение \({\lg ^2}{x^2} + \lg \left( {10x} \right)-6 = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\frac{1}{{10}};\;\sqrt {101} } \right]\).
ОТВЕТ: а) \(10;\,\;\,\,{10^{-\frac{5}{4}}};\) б) \(10.\)
a) \({\lg ^2}{x^2} + \lg \left( {10x} \right)-6 = 0.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} > 0,\;}\\{10x > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 0,}\\{x > 0\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x > 0.\) \({\lg ^2}{x^2} + \lg \left( {10x} \right)-6 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {2\lg \left| x \right|} \right)^2} + \lg 10 + \lg x-6 = 0.\) Так как \(x > 0,\) то \(\left| x \right| = x.\) Уравнение примет вид: \({\left( {2\lg x} \right)^2} + 1 + \lg x-6 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;4{\lg ^2}x + \lg x-5 = 0.\) Пусть \(\lg x = t.\) Тогда: \(4{t^2} + t-5 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = -\frac{5}{4},}\\{{t} = 1.\;\;\;\,}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\lg x = -\frac{5}{4},}\\{\lg x = 1\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {{10}^{-\frac{5}{4}}},}\\{x = 10.\;\;\,\,}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\frac{1}{{10}};\sqrt {101} } \right].\) Так как \({10^{-\frac{5}{4}}} < {10^{-1}} = \frac{1}{{10}},\) то \(x = {10^{-\frac{5}{4}}} \notin \left[ {\frac{1}{{10}};\sqrt {101} } \right].\) Так как \(\frac{1}{{10}} < 10 = \sqrt {100} < \sqrt {101} ,\) то \(x = 10\,\, \in \,\,\left[ {\frac{1}{{10}};\sqrt {101} } \right].\) Ответ: а) \(10;\,\;\,\,{10^{-\frac{5}{4}}};\) б) \(10.\)