13В. а) Решите уравнение \(\lg \left( {10{x^2}} \right)\;\lg x = 1\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {{\log_5}2;{\log_5}600} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(\frac{1}{{10}};\;\;\;\sqrt {10} ;\) б) \(\sqrt {10} .\)
а) \(\lg \left( {10{x^2}} \right)\lg x = 1.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{10{x^2} > 0,}\\{x > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x > 0.} \right.\) \(\left( {\lg 10 + \lg {x^2}} \right)\lg x = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {1 + 2\lg \left| x \right|} \right)\lg x = 1.\) Так как \(x > 0,\) то \(\left| x \right| = x.\) Уравнение примет вид: \(\left( {1 + 2\lg x} \right)\lg x = 1.\) Пусть \(\lg x = t.\) Тогда: \(\left( {1 + 2t} \right)t = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2{t^2} + t-1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = -1,}\\{{t} = \frac{1}{2}.\,}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\lg x = -1,}\\{\lg x = \frac{1}{2}\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{{10}},\,\;}\\{x = \sqrt {10} .}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {{\log_5}2;{\log_5}600} \right]\). Так как \(\frac{1}{{10}} = \frac{1}{{10}}{\log _5}5 = {\log _5}\sqrt[{10}]{5} < {\log _5}\sqrt[{10}]{{1024}} = {\log _5}2,\) то \(x = \frac{1}{{10}} \notin \left[ {{\log_5}2;{\log_5}600} \right].\) Так как \({\log _5}2\; < \sqrt {10} {\log _5}5 = \sqrt {10} < 3,5 = 3,5{\log _5}5 = {\log _5}{5^{\frac{7}{2}}} = {\log _5}\sqrt {78125} < {\log _5}\sqrt {360000} = {\log _5}600,\) то \(x = \sqrt {10} \,\, \in \,\,\left[ {{{\log }_5}2;{{\log }_5}600} \right].\) Ответ: а) \(\frac{1}{{10}};\;\;\;\sqrt {10} ;\) б) \(\sqrt {10} .\)